Giải Bài 6.17 trang 15 SBT Toán 10

Lời giải

a) Gọi chiều rộng mảnh vườn hình chữ nhật là $x$ (m), với $0 < x < 100$.

Vì bác Hùng dùng $200$ m hàng rào để rào hết chu vi mảnh vườn nên chu vi hình chữ nhật bằng $200$ m. Do đó nửa chu vi (tổng chiều rộng và chiều dài) là:
$$x + \text{chiều dài} = \frac{200}{2} = 100.$$

Suy ra chiều dài mảnh vườn là $100 - x$ (m).

Vậy diện tích mảnh vườn là:
$$S(x) = x(100 - x) = -x^2 + 100x \quad (0 < x < 100).$$

b) Diện tích $S(x) = -x^2 + 100x$ là một hàm số bậc hai với $a = -1 < 0$ nên đồ thị là parabol có bề lõm quay xuống dưới, do đó hàm số đạt giá trị lớn nhất tại đỉnh.

Hoành độ đỉnh:
$$x = -\frac{b}{2a} = -\frac{100}{2\cdot(-1)} = 50.$$

Giá trị $x = 50$ thỏa mãn điều kiện $0 < x < 100$.

Giá trị lớn nhất của diện tích:
$$S(50) = -50^2 + 100\cdot 50 = -2500 + 5000 = 2500 \ (\text{m}^2).$$

Khi đó chiều dài là $100 - 50 = 50$ (m).

Vậy mảnh vườn có diện tích lớn nhất là $2500\ \text{m}^2$, đạt được khi mảnh vườn là hình vuông có kích thước $50\ \text{m} \times 50\ \text{m}$.

Kiểm tra lại: Chu vi $= 2(50 + 50) = 200$ (m) ✓; diện tích $= 50 \times 50 = 2500\ \text{m}^2$ ✓.

Đáp số