Giải Bài 6.14 trang 15 SBT Toán 10

Lời giải

Parabol có dạng $y = ax^2 + bx + 2$ (hệ số tự do bằng $2$). Ta tìm $a,\,b$ theo từng giả thiết.

a) Parabol đi qua $M(1; 5)$ và $N(-2; 8)$.

Thay tọa độ $M(1;5)$: $a\cdot 1^2 + b\cdot 1 + 2 = 5 \Rightarrow a + b = 3.$

Thay tọa độ $N(-2;8)$: $a\cdot(-2)^2 + b\cdot(-2) + 2 = 8 \Rightarrow 4a - 2b = 6 \Rightarrow 2a - b = 3.$

Giải hệ $\begin{cases} a + b = 3 \\ 2a - b = 3 \end{cases}$: cộng hai phương trình được $3a = 6 \Rightarrow a = 2$, suy ra $b = 1$.

Vậy parabol là $y = 2x^2 + x + 2$.

*Kiểm tra:* tại $x=1$: $2+1+2=5$ (qua $M$); tại $x=-2$: $8-2+2=8$ (qua $N$). Đúng.

b) Parabol đi qua $A(3; -4)$ và có trục đối xứng $x = -\dfrac{3}{2}$.

Trục đối xứng $x = -\dfrac{b}{2a} = -\dfrac{3}{2} \Rightarrow \dfrac{b}{2a} = \dfrac{3}{2} \Rightarrow b = 3a.$

Thay tọa độ $A(3;-4)$: $a\cdot 3^2 + b\cdot 3 + 2 = -4 \Rightarrow 9a + 3b = -6 \Rightarrow 3a + b = -2.$

Thế $b = 3a$: $3a + 3a = -2 \Rightarrow 6a = -2 \Rightarrow a = -\dfrac{1}{3}$, suy ra $b = 3a = -1.$

Vậy parabol là $y = -\dfrac{1}{3}x^2 - x + 2$.

*Kiểm tra:* trục đối xứng $-\dfrac{b}{2a} = -\dfrac{-1}{2\cdot(-\frac{1}{3})} = -\dfrac{-1}{-\frac{2}{3}} = -\dfrac{3}{2}$; tại $x=3$: $-\dfrac{1}{3}\cdot 9 - 3 + 2 = -3 - 3 + 2 = -4$ (qua $A$). Đúng.

c) Parabol có đỉnh $I(2; -2)$.

Hoành độ đỉnh: $-\dfrac{b}{2a} = 2 \Rightarrow b = -4a.$

Đỉnh có tung độ $-2$ nên parabol qua $(2;-2)$: $a\cdot 2^2 + b\cdot 2 + 2 = -2 \Rightarrow 4a + 2b = -4 \Rightarrow 2a + b = -2.$

Thế $b = -4a$: $2a - 4a = -2 \Rightarrow -2a = -2 \Rightarrow a = 1$, suy ra $b = -4.$

Vậy parabol là $y = x^2 - 4x + 2$.

*Kiểm tra:* hoành độ đỉnh $-\dfrac{b}{2a} = \dfrac{4}{2} = 2$; tung độ tại $x=2$: $4 - 8 + 2 = -2$. Đỉnh $I(2;-2)$. Đúng.

Đáp số