Giải Bài 6.13 trang 15 SBT Toán 10

Lời giải

Hàm số bậc hai $f(x)=ax^2+bx+c$ ($a\neq0$) luôn có tập xác định $D=\mathbb{R}$. Toạ độ đỉnh của parabol là $\left(-\dfrac{b}{2a};\,-\dfrac{\Delta}{4a}\right)$. Từ đó suy ra tập giá trị.

a) $f(x)=-x^2+4x-3$ (với $a=-1,\ b=4,\ c=-3$).

Tập xác định: $D=\mathbb{R}$.

Ta có $\Delta=b^2-4ac=4^2-4\cdot(-1)\cdot(-3)=16-12=4$.

Hoành độ đỉnh: $x_0=-\dfrac{b}{2a}=-\dfrac{4}{2\cdot(-1)}=2$;

Tung độ đỉnh: $y_0=-\dfrac{\Delta}{4a}=-\dfrac{4}{4\cdot(-1)}=1$, tức $f(2)=-(2)^2+4\cdot2-3=1$.

Vì $a=-1<0$ nên parabol có bề lõm quay xuống dưới, hàm số đạt giá trị lớn nhất bằng $1$ tại $x=2$, tức $f(x)\le 1$ với mọi $x$.

Vậy tập giá trị là $T=(-\infty;\,1]$.

b) $f(x)=x^2-7x+12$ (với $a=1,\ b=-7,\ c=12$).

Tập xác định: $D=\mathbb{R}$.

Ta có $\Delta=b^2-4ac=(-7)^2-4\cdot1\cdot12=49-48=1$.

Hoành độ đỉnh: $x_0=-\dfrac{b}{2a}=\dfrac{7}{2}$;

Tung độ đỉnh: $y_0=-\dfrac{\Delta}{4a}=-\dfrac{1}{4}$, tức $f\!\left(\dfrac{7}{2}\right)=\left(\dfrac{7}{2}\right)^2-7\cdot\dfrac{7}{2}+12=-\dfrac{1}{4}$.

Vì $a=1>0$ nên parabol có bề lõm quay lên trên, hàm số đạt giá trị nhỏ nhất bằng $-\dfrac{1}{4}$ tại $x=\dfrac{7}{2}$, tức $f(x)\ge -\dfrac{1}{4}$ với mọi $x$.

Vậy tập giá trị là $T=\left[-\dfrac{1}{4};\,+\infty\right)$.

Đáp số