Giải Bài 6.27 trang 20 SBT Toán 10

Lời giải

Xét tam thức bậc hai (ẩn $x$):
$$f(x) = b^2x^2 - (b^2 + c^2 - a^2)x + c^2.$$

Hệ số của $x^2$: Vì $b$ là độ dài một cạnh của tam giác nên $b > 0$, suy ra hệ số $a' = b^2 > 0$.

Tính biệt thức $\Delta$:
$$\Delta = \big(b^2 + c^2 - a^2\big)^2 - 4b^2c^2.$$

Đây là hiệu hai bình phương: $\Delta = \big(b^2 + c^2 - a^2\big)^2 - (2bc)^2$, nên
$$\Delta = \big(b^2 + c^2 - a^2 - 2bc\big)\big(b^2 + c^2 - a^2 + 2bc\big).$$

Nhóm các hạng tử thành bình phương:
$$b^2 + c^2 - a^2 - 2bc = (b-c)^2 - a^2, \qquad b^2 + c^2 - a^2 + 2bc = (b+c)^2 - a^2.$$

Do đó
$$\Delta = \big[(b-c)^2 - a^2\big]\big[(b+c)^2 - a^2\big].$$

Tiếp tục dùng hằng đẳng thức hiệu hai bình phương cho từng ngoặc:
$$\Delta = (b-c-a)(b-c+a)\,(b+c-a)(b+c+a).$$

Xét dấu bốn thừa số nhờ bất đẳng thức tam giác. Vì $a, b, c$ là ba cạnh của một tam giác nên:
- $a + b + c > 0$ (tổng ba độ dài dương), tức $b + c + a > 0$;
- $b + c > a \Rightarrow b + c - a > 0$;
- $a + b > c \Rightarrow b - c + a > 0$;
- $a + c > b \Rightarrow a + c - b > 0 \Rightarrow b - c - a = -(a + c - b) < 0$.

Vậy trong tích $\Delta$ có ba thừa số dương và một thừa số âm $(b-c-a)$, suy ra
$$\Delta < 0.$$

Kết luận. Tam thức $f(x)$ có hệ số $a' = b^2 > 0$ và $\Delta < 0$ nên $f(x) > 0$ với mọi $x \in \mathbb{R}$, tức là
$$b^2x^2 - (b^2 + c^2 - a^2)x + c^2 > 0, \quad \forall x \in \mathbb{R}. \qquad \text{(đpcm)}$$

Đáp số