Giải Bài 6.26 trang 19 SBT Toán 10

Lời giải

a) Viết phương trình chuyển động của viên đạn.

Thay $v_0 = 500$ m/s, $\alpha = 45^\circ$ và $g = 9{,}8$ m/s$^2$ vào phương trình quỹ đạo.

Ta có $\cos 45^\circ = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$ nên $\cos^2 45^\circ = \dfrac{1}{2}$ và $\tan 45^\circ = 1$.

- Hệ số của $x^2$:
$$\dfrac{-g}{2v_0^2\cos^2\alpha} = \dfrac{-9{,}8}{2\cdot 500^2\cdot \dfrac{1}{2}} = \dfrac{-9{,}8}{250\,000} = -3{,}92\cdot 10^{-5}.$$
- Hệ số của $x$: $\tan 45^\circ = 1$.

Vậy phương trình chuyển động của viên đạn là:
$$y = -\dfrac{9{,}8}{250\,000}\,x^2 + x \quad\text{hay}\quad y = -3{,}92\cdot 10^{-5}\,x^2 + x.$$

b) Khoảng cách đặt khẩu pháo để viên đạn bay qua ngọn núi cao 4 000 m.

Gọi $x$ (mét) là khoảng cách theo phương ngang từ khẩu pháo đến ngọn núi. Để viên đạn bay qua được ngọn núi cao 4 000 m thì tại vị trí đó độ cao của viên đạn phải không nhỏ hơn 4 000 m, tức là:
$$y \ge 4000 \;\Leftrightarrow\; -3{,}92\cdot 10^{-5}\,x^2 + x \ge 4000.$$

Chuyển vế:
$$-3{,}92\cdot 10^{-5}\,x^2 + x - 4000 \ge 0 \;\Leftrightarrow\; 3{,}92\cdot 10^{-5}\,x^2 - x + 4000 \le 0.$$

Xét tam thức bậc hai $f(x) = 3{,}92\cdot 10^{-5}\,x^2 - x + 4000$ với $a = 3{,}92\cdot 10^{-5} > 0$.

Tính biệt thức:
$$\Delta = (-1)^2 - 4\cdot 3{,}92\cdot 10^{-5}\cdot 4000 = 1 - 0{,}6272 = 0{,}3728 > 0.$$

Tam thức có hai nghiệm:
$$x_{1,2} = \dfrac{1 \pm \sqrt{0{,}3728}}{2\cdot 3{,}92\cdot 10^{-5}} = \dfrac{1 \pm 0{,}6106}{7{,}84\cdot 10^{-5}}.$$

Do đó:
$$x_1 = \dfrac{1 - 0{,}6106}{7{,}84\cdot 10^{-5}} \approx 4967\ \text{(m)}, \qquad x_2 = \dfrac{1 + 0{,}6106}{7{,}84\cdot 10^{-5}} \approx 20\,543\ \text{(m)}.$$

Vì $a > 0$ nên $f(x) \le 0$ khi $x$ nằm giữa hai nghiệm:
$$4967 \le x \le 20\,543.$$

Kết luận: Để viên đạn bay qua được ngọn núi cao 4 000 m, khẩu pháo phải được đặt cách chân núi một khoảng từ khoảng 4 967 m đến khoảng 20 543 m.

*Kiểm tra:* Tại $x = 4967$ m: $y \approx -3{,}92\cdot10^{-5}\cdot 4967^2 + 4967 \approx -967 + 4967 = 4000$ m (đúng). Khi $x$ nằm trong khoảng trên, $y \ge 4000$ m nên viên đạn vượt qua đỉnh núi.

Đáp số