Giải Bài 6.24 trang 19 SBT Toán 10

Lời giải

## a) $-x^2 + (m+1)x - 2m + 1 \leq 0,\ \forall x \in \mathbb{R}$

Đặt $f(x) = -x^2 + (m+1)x - 2m + 1$ với $a = -1,\ b = m+1,\ c = -2m+1$.

Vì $a = -1 < 0$, tam thức $f(x) \leq 0$ với mọi $x \in \mathbb{R}$ khi và chỉ khi $\Delta \leq 0$.

Tính biệt thức:
$$\Delta = (m+1)^2 - 4\cdot(-1)\cdot(-2m+1) = (m+1)^2 + 4(-2m+1)$$
$$= m^2 + 2m + 1 - 8m + 4 = m^2 - 6m + 5.$$

Yêu cầu $\Delta \leq 0$:
$$m^2 - 6m + 5 \leq 0 \iff (m-1)(m-5) \leq 0 \iff 1 \leq m \leq 5.$$

Kết luận: $1 \leq m \leq 5$.

##

b) $x^2 - (2m+1)x + m + 2 > 0,\ \forall x \in \mathbb{R}$

Đặt $g(x) = x^2 - (2m+1)x + m + 2$ với $a = 1,\ b = -(2m+1),\ c = m+2$.

Vì $a = 1 > 0$, tam thức $g(x) > 0$ với mọi $x \in \mathbb{R}$ khi và chỉ khi $\Delta < 0$ (dấu nghiêm ngặt).

Tính biệt thức:
$$\Delta = (2m+1)^2 - 4(m+2) = 4m^2 + 4m + 1 - 4m - 8 = 4m^2 - 7.$$

Yêu cầu $\Delta < 0$:
$$4m^2 - 7 < 0 \iff m^2 < \frac{7}{4} \iff -\frac{\sqrt{7}}{2} < m < \frac{\sqrt{7}}{2}.$$

Kết luận: $-\dfrac{\sqrt{7}}{2} < m < \dfrac{\sqrt{7}}{2}$ (tức $m^2 < \dfrac{7}{4}$).

Đáp số