Giải Bài 6.23 trang 19 SBT Toán 10

Lời giải

Xét phương trình bậc hai $x^2 - 2(m-1)x + 4m^2 - m = 0$ với $a = 1$, $b = -2(m-1)$, $c = 4m^2 - m$.

a) Phương trình có hai nghiệm phân biệt.

Vì $a = 1 \neq 0$ nên phương trình đã cho là phương trình bậc hai. Nó có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi $\Delta' > 0$.

Ta có $b = -2(m-1)$ nên $b' = -(m-1)$. Do đó:

$\Delta' = b'^2 - ac = (m-1)^2 - (4m^2 - m)$

$= m^2 - 2m + 1 - 4m^2 + m = -3m^2 - m + 1.$

Phương trình có hai nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow \Delta' > 0$:

$-3m^2 - m + 1 > 0 \Leftrightarrow 3m^2 + m - 1 < 0.$

Tam thức $3m^2 + m - 1$ có hai nghiệm $m = \dfrac{-1 \pm \sqrt{13}}{6}$ và hệ số $a = 3 > 0$ nên tam thức mang dấu âm giữa hai nghiệm. Vậy:

$\dfrac{-1 - \sqrt{13}}{6} < m < \dfrac{-1 + \sqrt{13}}{6}.$

b) Phương trình có hai nghiệm trái dấu.

Phương trình bậc hai có hai nghiệm trái dấu khi và chỉ khi tích hai nghiệm âm, tức là $a$ và $c$ trái dấu: $a \cdot c < 0$.

Vì $a = 1 > 0$ nên điều kiện trở thành $c < 0$:

$4m^2 - m < 0 \Leftrightarrow m(4m - 1) < 0.$

Tam thức $4m^2 - m$ có hai nghiệm $m = 0$ và $m = \dfrac{1}{4}$, hệ số $a = 4 > 0$ nên tam thức mang dấu âm giữa hai nghiệm. Vậy:

$0 < m < \dfrac{1}{4}.$

(Khi đó $a \cdot c < 0$ nên $\Delta' > 0$, phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt trái dấu — thỏa mãn.)

Đáp số