Giải Bài 6.22 trang 19 SBT Toán 10

Lời giải

a) $3x^2 - 36x + 108 > 0$

Chia hai vế cho $3 > 0$ (không đổi chiều): $x^2 - 12x + 36 > 0$, tức $(x-6)^2 > 0$.

Tam thức $(x-6)^2$ có nghiệm kép $x = 6$ và luôn không âm. Nó dương khi và chỉ khi $x \neq 6$.

Vậy tập nghiệm là $S = \mathbb{R} \setminus \{6\}$, tức $x \neq 6$.

b) $-x^2 + 2x - 2 \geq 0$

Xét tam thức $f(x) = -x^2 + 2x - 2$ có $a = -1 < 0$ và $\Delta = 2^2 - 4\cdot(-1)\cdot(-2) = 4 - 8 = -4 < 0$.

Vì $\Delta < 0$ nên $f(x)$ cùng dấu với $a$, tức $f(x) < 0$ với mọi $x$. Do đó bất phương trình $f(x) \geq 0$ vô nghiệm.

Vậy tập nghiệm là $S = \varnothing$.

c) $x^4 - 3x^2 + 2 \leq 0$

Đặt $t = x^2 \geq 0$. Bất phương trình trở thành $t^2 - 3t + 2 \leq 0$, tức $(t-1)(t-2) \leq 0$.

Tam thức $t^2 - 3t + 2$ có hai nghiệm $t = 1$ và $t = 2$, hệ số $a > 0$ nên nó $\leq 0$ khi $1 \leq t \leq 2$.

Trở lại ẩn $x$: $1 \leq x^2 \leq 2$.

- $x^2 \geq 1 \Leftrightarrow x \leq -1$ hoặc $x \geq 1$.
- $x^2 \leq 2 \Leftrightarrow -\sqrt{2} \leq x \leq \sqrt{2}$.

Lấy giao hai điều kiện: $-\sqrt{2} \leq x \leq -1$ hoặc $1 \leq x \leq \sqrt{2}$.

Vậy tập nghiệm là $S = [-\sqrt{2};\,-1] \cup [1;\,\sqrt{2}]$.

d) $\dfrac{1}{x^2 - x + 1} \leq \dfrac{1}{2x^2 + x + 2}$

Xét các mẫu:
- $x^2 - x + 1$ có $\Delta = (-1)^2 - 4 = -3 < 0$, $a > 0$ nên $x^2 - x + 1 > 0$ với mọi $x$.
- $2x^2 + x + 2$ có $\Delta = 1^2 - 4\cdot 2\cdot 2 = -15 < 0$, $a > 0$ nên $2x^2 + x + 2 > 0$ với mọi $x$.

Chuyển vế và quy đồng (tích hai mẫu dương):
$$\frac{1}{x^2 - x + 1} - \frac{1}{2x^2 + x + 2} \leq 0 \Leftrightarrow \frac{(2x^2 + x + 2) - (x^2 - x + 1)}{(x^2 - x + 1)(2x^2 + x + 2)} \leq 0.$$

Mẫu luôn dương nên bất phương trình tương đương với tử $\leq 0$:
$$(2x^2 + x + 2) - (x^2 - x + 1) \leq 0 \Leftrightarrow x^2 + 2x + 1 \leq 0 \Leftrightarrow (x+1)^2 \leq 0.$$

Vì $(x+1)^2 \geq 0$ nên chỉ xảy ra khi $(x+1)^2 = 0$, tức $x = -1$.

Thử lại $x = -1$: hai mẫu đều bằng $3$, ta có $\dfrac{1}{3} \leq \dfrac{1}{3}$ (đúng).

Vậy tập nghiệm là $S = \{-1\}$.

Đáp số