Giải Bài 6.21 trang 19 SBT Toán 10

Lời giải

a) $f(x) = -x^2 + 6x + 7$

Hệ số $a = -1 < 0$.

Ta có $\Delta = 6^2 - 4\cdot(-1)\cdot 7 = 36 + 28 = 64 > 0$.

$f(x)$ có hai nghiệm phân biệt:
$$x_1 = \frac{-6 + 8}{2\cdot(-1)} = -1, \qquad x_2 = \frac{-6 - 8}{2\cdot(-1)} = 7.$$

Vì $a < 0$ nên $f(x)$ cùng dấu với $a$ (tức là âm) bên ngoài khoảng hai nghiệm, và trái dấu với $a$ (tức là dương) trong khoảng hai nghiệm.

Kết luận:
- $f(x) > 0$ khi $-1 < x < 7$;
- $f(x) < 0$ khi $x < -1$ hoặc $x > 7$;
- $f(x) = 0$ khi $x = -1$ hoặc $x = 7$.

b) $g(x) = 3x^2 - 2x + 2$

Hệ số $a = 3 > 0$.

Ta có $\Delta = (-2)^2 - 4\cdot 3\cdot 2 = 4 - 24 = -20 < 0$.

Vì $\Delta < 0$ và $a > 0$ nên $g(x)$ luôn cùng dấu với $a$, tức là:
$$g(x) > 0 \quad \text{với mọi } x \in \mathbb{R}.$$

c) $h(x) = -16x^2 + 24x - 9$

Hệ số $a = -16 < 0$.

Ta có $\Delta = 24^2 - 4\cdot(-16)\cdot(-9) = 576 - 576 = 0$.

Vì $\Delta = 0$ nên $h(x)$ có nghiệm kép:
$$x_0 = \frac{-24}{2\cdot(-16)} = \frac{3}{4}.$$

Khi $\Delta = 0$, $h(x)$ cùng dấu với $a$ (tức là âm) với mọi $x \neq \dfrac{3}{4}$.

Kết luận:
- $h(x) < 0$ khi $x \neq \dfrac{3}{4}$;
- $h(x) = 0$ khi $x = \dfrac{3}{4}$.

d) $k(x) = 2x^2 - 6x + 1$

Hệ số $a = 2 > 0$.

Ta có $\Delta = (-6)^2 - 4\cdot 2\cdot 1 = 36 - 8 = 28 > 0$.

$k(x)$ có hai nghiệm phân biệt:
$$x_1 = \frac{6 - \sqrt{28}}{2\cdot 2} = \frac{6 - 2\sqrt{7}}{4} = \frac{3 - \sqrt{7}}{2}, \qquad x_2 = \frac{3 + \sqrt{7}}{2}.$$

(Gần đúng: $x_1 \approx 0{,}177$; $x_2 \approx 2{,}823$.)

Vì $a > 0$ nên $k(x)$ cùng dấu với $a$ (tức là dương) bên ngoài khoảng hai nghiệm, và trái dấu với $a$ (tức là âm) trong khoảng hai nghiệm.

Kết luận:
- $k(x) > 0$ khi $x < \dfrac{3 - \sqrt{7}}{2}$ hoặc $x > \dfrac{3 + \sqrt{7}}{2}$;
- $k(x) < 0$ khi $\dfrac{3 - \sqrt{7}}{2} < x < \dfrac{3 + \sqrt{7}}{2}$;
- $k(x) = 0$ khi $x = \dfrac{3 - \sqrt{7}}{2}$ hoặc $x = \dfrac{3 + \sqrt{7}}{2}$.

Đáp số