Giải Bài 6.20 trang 16 SBT Toán 10

Lời giải

a) Lập công thức hàm số $R(x)$

Gọi $x$ (nghìn đồng) là giá vé ($x > 0$). Giá vé ban đầu là $40$ nghìn đồng ứng với trung bình $300$ người đến rạp mỗi ngày.

So với mức $40$ nghìn đồng, giá vé đã giảm một lượng là $(40 - x)$ nghìn đồng. Vì cứ giảm $10$ nghìn đồng thì có thêm $100$ người, nên số người tăng thêm là:
$$\frac{40 - x}{10} \cdot 100 = 10(40 - x) = 400 - 10x \ \text{(người)}.$$

Do đó số người đến rạp mỗi ngày khi giá vé là $x$ nghìn đồng là:
$$300 + (400 - 10x) = 700 - 10x \ \text{(người)}.$$

Doanh thu mỗi ngày (nghìn đồng) bằng giá vé nhân với số người:
$$R(x) = x(700 - 10x) = -10x^2 + 700x.$$

Vì số người phải không âm: $700 - 10x \ge 0 \Rightarrow x \le 70$; đồng thời $x > 0$. (Số người lớn nhất là $700 < 1\,000$ nên luôn trong sức chứa.)

Vậy $R(x) = -10x^2 + 700x$ với $0 < x \le 70$ (đơn vị: nghìn đồng).

b) Tìm mức giá vé để doanh thu lớn nhất

$R(x) = -10x^2 + 700x$ là hàm số bậc hai với $a = -10 < 0$ nên đồ thị là parabol có bề lõm hướng xuống, đạt giá trị lớn nhất tại đỉnh:
$$x = -\frac{b}{2a} = -\frac{700}{2\cdot(-10)} = 35.$$

Giá trị $x = 35$ thỏa mãn điều kiện $0 < x \le 70$. Giá trị lớn nhất của doanh thu là:
$$R(35) = -10\cdot 35^2 + 700\cdot 35 = -12\,250 + 24\,500 = 12\,250 \ \text{(nghìn đồng)}.$$

Kiểm tra: Với $x = 35$ nghìn đồng, số người đến rạp là $700 - 10\cdot 35 = 350$ người (nhỏ hơn sức chứa $1\,000$). Doanh thu $= 35 \cdot 350 = 12\,250$ nghìn đồng $= 12\,250\,000$ đồng. Khớp với kết quả trên.

Vậy để doanh thu mỗi ngày lớn nhất, rạp nên bán vé với giá $35$ nghìn đồng $= 35\,000$ đồng, khi đó doanh thu lớn nhất là $12\,250\,000$ đồng mỗi ngày.

Đáp số