Giải Luyện tập 1 trang 18 Chuyên đề Toán 11

Lời giải

a) Ảnh của điểm $B$ qua phép quay $Q_{(A,\,60^\circ)}$.

Vì tam giác $ABC$ đều nên:
$$AB = AC \quad \text{và} \quad \widehat{BAC} = 60^\circ.$$

Quan sát Hình 1.22, tia $AB$ quay một góc $60^\circ$ (ngược chiều kim đồng hồ, tức chiều dương) thì trùng với tia $AC$. Do đó phép quay $Q_{(A,\,60^\circ)}$ biến tia $AB$ thành tia $AC$.

Lại có $AB = AC$ nên phép quay này biến điểm $B$ thành điểm $C$:
$$Q_{(A,\,60^\circ)}(B) = C.$$

Vậy ảnh của điểm $B$ qua phép quay $Q_{(A,\,60^\circ)}$ là điểm $C$.

b) Mối quan hệ giữa $B$ và $D$ đối với đường thẳng $AC$.

Vì $D$ là ảnh của $C$ qua $Q_{(A,\,60^\circ)}$ nên theo tính chất của phép quay:
$$AD = AC \quad \text{và} \quad \widehat{CAD} = 60^\circ.$$

Từ câu a) ta có $AB = AC$ và $\widehat{BAC} = 60^\circ$. Kết hợp lại:
$$AB = AC = AD \quad (1)$$
$$\widehat{BAC} = \widehat{CAD} = 60^\circ \quad (2)$$

Từ $(2)$ suy ra $AC$ là tia phân giác của góc $\widehat{BAD}$, lại thêm $(1)$ cho $AB = AD$. Do đó đường thẳng $AC$ là trục đối xứng của đoạn thẳng $BD$: hai điểm $B$ và $D$ nằm về hai phía của đường thẳng $AC$ và cách đều $AC$.

Vậy $B$ và $D$ đối xứng với nhau qua đường thẳng $AC$.

Đáp số