Giải Bài 1.9 trang 16 Chuyên đề Toán 11

Lời giải

Nhận xét. Phép đối xứng qua trục $Ox$ biến mỗi điểm $M(x; y)$ thành điểm $M'(x; -y)$ (giữ nguyên hoành độ, đổi dấu tung độ).

Bước 1. Gọi điểm tổng quát của $d$.
Lấy $M(x; y)$ là một điểm tùy ý thuộc đường thẳng $d$. Vì $d$ là ảnh của $\Delta$ qua phép đối xứng trục $Ox$ nên điểm $M'$ đối xứng với $M$ qua $Ox$ phải thuộc $\Delta$. Ta có
$$M' = \big(x;\, -y\big).$$

Bước 2. Thay toạ độ $M'$ vào phương trình $\Delta$.
Vì $M'(x; -y) \in \Delta: x + 2y - 1 = 0$ nên
$$x + 2\cdot(-y) - 1 = 0 \quad\Longleftrightarrow\quad x - 2y - 1 = 0.$$
Đây chính là điều kiện để $M(x; y) \in d$. Vậy
$$d:\; x - 2y - 1 = 0.$$

Bước 3. Kiểm tra lại.
- $\Delta$ cắt trục $Ox$ tại điểm có $y = 0 \Rightarrow x = 1$, tức $A(1; 0)$. Điểm $A$ nằm trên $Ox$ nên là điểm bất động của phép đối xứng; thay vào $d$: $1 - 2\cdot 0 - 1 = 0$ (đúng), nên $A \in d$. Hợp lí vì $A$ là giao điểm của $\Delta$ với trục đối xứng.
- Lấy thêm điểm $B(1; 0)\,$... chọn $B(-1; 1) \in \Delta$ (vì $-1 + 2\cdot 1 - 1 = 0$). Ảnh của $B$ qua $Ox$ là $B'(-1; -1)$; thay vào $d$: $-1 - 2\cdot(-1) - 1 = -1 + 2 - 1 = 0$ (đúng), nên $B' \in d$.

Hai đường $\Delta$ và $d$ có cùng điểm chung $A(1;0)$ trên trục $Ox$ và hệ số góc đối nhau ($\Delta$ có hệ số góc $-\tfrac12$, $d$ có hệ số góc $\tfrac12$), đúng với tính chất đối xứng qua $Ox$.

Kết luận. Phương trình đường thẳng $d$ là $x - 2y - 1 = 0$.

Đáp số