Giải Bài 1.8 trang 16 Chuyên đề Toán 11

Lời giải

Lời giải

Kí hiệu $Đ_d$ là phép đối xứng trục $d$. Theo giả thiết $Đ_d(A) = M$, $Đ_d(B) = N$.

Bước 1. Chứng minh $AM \parallel BN$.

Vì $M$ đối xứng với $A$ qua $d$ nên $d$ là đường trung trực của đoạn $AM$, suy ra $AM \perp d$. Tương tự, $BN \perp d$.

Do đó hai đường thẳng $AM$ và $BN$ hoặc song song, hoặc trùng nhau. Nếu chúng trùng nhau thì bốn điểm $A$, $B$, $M$, $N$ cùng nằm trên một đường thẳng vuông góc với $d$, kéo theo $AB \perp d$, trái giả thiết. Vậy
$$AM \parallel BN,$$
nên tứ giác $ABNM$ là hình thang với hai đáy $AM$ và $BN$.

Bước 2. Chứng minh hai đường chéo bằng nhau.

Hai đường chéo của hình thang $ABNM$ là $AN$ và $BM$.

Vì $Đ_d(A) = M$ và $Đ_d(N) = B$ nên phép đối xứng trục $Đ_d$ biến đoạn thẳng $AN$ thành đoạn thẳng $MB$. Mà phép đối xứng trục bảo toàn độ dài đoạn thẳng nên
$$AN = BM.$$

Bước 3. Kết luận.

Hình thang $ABNM$ có hai đường chéo $AN = BM$ nên $ABNM$ là hình thang cân.

Vậy $A$, $B$, $M$, $N$ là bốn đỉnh của một hình thang cân.

*Chú ý.* Ngoài ra, do $Đ_d(A) = M$, $Đ_d(B) = N$ nên $MN = AB$, tức hai cạnh bên của hình thang cân này bằng nhau (đúng như tính chất của hình thang cân). Trường hợp đặc biệt $AB \parallel d$: khi đó $AM = BN$ và hình thang cân $ABNM$ trở thành hình chữ nhật — vẫn là một hình thang cân.

Đáp số