Giải Bài 1.7 trang 16 Chuyên đề Toán 11

Lời giải

Phân tích. Phép đối xứng trục $Đ_d$ (với $d$ là trục đối xứng) biến một đường tròn thành một đường tròn có cùng bán kính. Vì hai đường tròn đã cho có cùng bán kính $R$ nên điều kiện về bán kính luôn thỏa mãn; ta chỉ cần tìm trục $d$ sao cho $Đ_d$ biến tâm $O_1$ thành tâm $O_2$.

Thật vậy, nếu $Đ_d(O_1;R) = (O_2;R)$ thì ảnh của tâm $O_1$ phải là tâm $O_2$, tức là
$$Đ_d(O_1) = O_2.$$

Xác định trục $d$. Theo định nghĩa phép đối xứng trục, $Đ_d(O_1) = O_2$ khi và chỉ khi $d$ là đường trung trực của đoạn thẳng $O_1O_2$ (đường thẳng $d$ vuông góc với $O_1O_2$ tại trung điểm của $O_1O_2$).

Vì hai đường tròn không đồng tâm nên $O_1 \ne O_2$, do đó đoạn $O_1O_2$ tồn tại và đường trung trực $d$ của nó được xác định duy nhất.

Kiểm tra. Gọi $d$ là đường trung trực của $O_1O_2$. Khi đó $Đ_d(O_1) = O_2$, nên $Đ_d$ biến đường tròn tâm $O_1$ bán kính $R$ thành đường tròn tâm $O_2$ bán kính $R$, tức là biến $(O_1;R)$ thành $(O_2;R)$ (thỏa mãn vì phép đối xứng trục bảo toàn bán kính).

Kết luận. Phép đối xứng trục cần tìm là phép đối xứng qua đường trung trực $d$ của đoạn thẳng $O_1O_2$.

Đáp số