Giải Bài 1.6 trang 16 Chuyên đề Toán 11

Lời giải

Phân tích. Giả sử phép đối xứng trục $Đ_d$ (với trục là đường thẳng $d$) biến điểm $A$ thành điểm $B$, tức là $Đ_d(A)=B$.

Tìm trục $d$. Theo định nghĩa phép đối xứng trục:

- Nếu $A$ nằm trên $d$ thì $Đ_d(A)=A$. Nhưng $A\ne B$ nên trường hợp này không xảy ra, suy ra $A\notin d$.
- Vì $A\notin d$ nên $Đ_d(A)=B$ khi và chỉ khi $d$ là đường trung trực của đoạn thẳng $AB$, nghĩa là $d$ vuông góc với $AB$ tại trung điểm của $AB$.

Kết luận. Vì $A$ và $B$ phân biệt nên đoạn thẳng $AB$ xác định, do đó đường trung trực của $AB$ tồn tại và duy nhất. Vậy có duy nhất một phép đối xứng trục biến $A$ thành $B$, đó là phép đối xứng qua đường trung trực của đoạn thẳng $AB$.

Kiểm tra lại. Gọi $d$ là đường trung trực của $AB$ và $M$ là trung điểm $AB$. Khi đó $d\perp AB$ tại $M$, nên ảnh của $A$ qua $Đ_d$ là điểm $A'$ sao cho $d$ là trung trực của $AA'$. Vì $B$ thỏa mãn $d\perp AB$ tại trung điểm $M$ của $AB$, nên $A'\equiv B$. Vậy $Đ_d(A)=B$ (đúng).

Đáp số