Giải Hoạt động 2 trang 15 Chuyên đề Toán 11
Đề bài
Cho phép đối xứng trục $d$ biến $M$ thành $M'$, $N$ thành $N'$.
Xét hệ trục toạ độ $Oxy$ sao cho trục $Oy$ trùng với $d$ (H.1.16a). Giả sử $M$ có toạ độ là $(x_1; y_1)$, $N$ có toạ độ là $(x_2; y_2)$.
a) Hãy cho biết toạ độ của $M'$, $N'$.
b) Tính $MN^2$, $M'N'^2$ theo toạ độ của các điểm tương ứng.
c) So sánh độ dài các đoạn thẳng $MN$, $M'N'$.
Mô tả hình bằng lời
Hình 1.16a: Hệ trục toạ độ $Oxy$ với trục $Oy$ trùng với đường thẳng $d$. Điểm $M(x_1; y_1)$ nằm bên trái trục $Oy$, điểm $M'$ là ảnh đối xứng của $M$ qua $Oy$ nằm bên phải (cùng tung độ $y_1$, hoành độ $x_2$ đối xứng). Điểm $N(x_2; y_2)$ nằm phía trên bên phải, điểm $N'$ là ảnh đối xứng của $N$ qua $Oy$ nằm phía trên bên trái (cùng tung độ $y_2$). Các điểm $M$, $M'$ cùng độ cao $y_1$; $N$, $N'$ cùng độ cao $y_2$.
Lời giải
a) Trục $Oy$ trùng với $d$. Phép đối xứng qua trục $Oy$ biến mỗi điểm $(x; y)$ thành điểm $(-x; y)$ (giữ nguyên tung độ, đổi dấu hoành độ).
Vì phép đối xứng trục $d$ biến $M$ thành $M'$, $N$ thành $N'$ nên:
$$M'(-x_1;\, y_1), \qquad N'(-x_2;\, y_2).$$
b) Áp dụng công thức tính khoảng cách giữa hai điểm:
$$MN^2 = (x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2.$$
$$M'N'^2 = \big[-x_2 - (-x_1)\big]^2 + (y_2 - y_1)^2 = (x_1 - x_2)^2 + (y_2 - y_1)^2 = (x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2.$$
c) So sánh kết quả ở ý b):
$$M'N'^2 = (x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 = MN^2.$$
Vì $MN,\ M'N'$ là các độ dài (số không âm) nên từ $M'N'^2 = MN^2$ suy ra $MN = M'N'$.
Vậy phép đối xứng trục bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm.
Đáp số
Lời giải do Thư viện nhà trường biên soạn, giải và kiểm chéo độc lập theo SGK 2026-2027.