Giải Luyện tập 2 trang 12 Chuyên đề Toán 11

Lời giải

Phân tích hình bình hành $MOO'M'$.

Các đỉnh ghi theo thứ tự $M \to O \to O' \to M'$, nên $MO$ và $O'M'$ là một cặp cạnh đối, còn $OO'$ và $M'M$ là cặp cạnh đối còn lại. Trong hình bình hành, hai cạnh đối song song và bằng nhau, nên:
$$\vec{MM'} = \vec{OO'}.$$

Nhận ra phép tịnh tiến.

Hệ thức $\vec{MM'} = \vec{OO'}$ cho thấy với mỗi điểm $M$, điểm $M'$ chính là ảnh của $M$ qua phép tịnh tiến theo vectơ $\vec{u} = \vec{OO'}$:
$$M' = T_{\vec{OO'}}(M).$$

Xác định quỹ tích của $M'$.

Khi $M$ chạy trên đường tròn $(O; R)$ thì ảnh $M' = T_{\vec{OO'}}(M)$ chạy trên ảnh của $(O; R)$ qua phép tịnh tiến đó. Phép tịnh tiến biến một đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính, còn tâm biến thành ảnh của tâm. Ảnh của tâm $O$ là điểm $O''$ với $\vec{OO''} = \vec{OO'}$, tức $O'' \equiv O'$.

Vậy ảnh của $(O; R)$ là đường tròn $(O'; R)$ — tâm $O'$, bán kính $R$.

Xét điều kiện của đề bài.

Hình bình hành $MOO'M'$ chỉ dựng được khi $O, O', M$ không thẳng hàng. Đường thẳng $OO'$ cắt $(O; R)$ tại đúng hai điểm; với hai vị trí này của $M$ thì bốn điểm thẳng hàng, không tạo thành hình bình hành nên phải loại. Vì $M' = M + \vec{OO'}$ và $\vec{OO'}$ nằm trên đường thẳng $OO'$, nên hai điểm $M'$ tương ứng cũng nằm trên đường thẳng $OO'$ và cần bỏ đi.

Kết luận.

Khi $M$ thay đổi trên $(O; R)$, điểm $M'$ thay đổi trên đường tròn $(O'; R)$ — ảnh của $(O; R)$ qua phép tịnh tiến theo $\vec{OO'}$ — bỏ đi hai điểm là giao của đường thẳng $OO'$ với đường tròn đó.

Đáp số