Giải Bài 1.15 trang 24 Chuyên đề Toán 10

Lời giải

## a) $\begin{cases} x + y + z = 6 \\ x + 2y + 3z = 14 \\ 3x - 2y - z = -4 \end{cases}$

Khử ẩn. Lấy phương trình (2) trừ phương trình (1):
$$(x+2y+3z)-(x+y+z)=14-6 \Rightarrow y+2z=8 \quad (4)$$

Từ (1) rút $x=6-y-z$, thay vào (3):
$$3(6-y-z)-2y-z=-4 \Rightarrow 18-5y-4z=-4 \Rightarrow 5y+4z=22 \quad (5)$$

Từ (4) có $y=8-2z$, thay vào (5):
$$5(8-2z)+4z=22 \Rightarrow 40-6z=22 \Rightarrow z=3.$$

Suy ra $y=8-2\cdot 3=2$ và $x=6-2-3=1$.

Thử lại: $x+2y+3z=1+4+9=14$ ✓; $\ 3x-2y-z=3-4-3=-4$ ✓.

Vậy hệ có nghiệm duy nhất $(x;y;z)=(1;2;3)$.

---

##

b) $\begin{cases} 2x - 2y + z = 6 \\ 3x + 2y + 5z = 7 \\ 7x + 3y - 6z = 1 \end{cases}$

Khử $y$. Cộng (1) và (2):
$$(2x-2y+z)+(3x+2y+5z)=6+7 \Rightarrow 5x+6z=13 \quad (4)$$

Nhân (1) với $3$ và (3) với $2$ rồi cộng (để triệt tiêu $y$ vì $-2y\cdot3=-6y$ và $3y\cdot2=6y$):
$$3(2x-2y+z)+2(7x+3y-6z)=3\cdot6+2\cdot1 \Rightarrow 20x-9z=20 \quad (5)$$

Giải hệ hai ẩn (4), (5). Nhân (4) với $4$: $\ 20x+24z=52$. Trừ đi (5):
$$(20x+24z)-(20x-9z)=52-20 \Rightarrow 33z=32 \Rightarrow z=\dfrac{32}{33}.$$

Từ (4): $x=\dfrac{13-6z}{5}=\dfrac{13-\frac{192}{33}}{5}=\dfrac{\frac{237}{33}}{5}=\dfrac{237}{165}=\dfrac{79}{55}.$

Từ (1): $y=\dfrac{2x+z-6}{2}=x+\dfrac{z}{2}-3=\dfrac{79}{55}+\dfrac{16}{33}-3=\dfrac{237-\,(-\,)}{165}$ (quy đồng mẫu $165$) $=\dfrac{237+80-495}{165}=-\dfrac{178}{165}.$

Thử lại (3): $7\cdot\dfrac{79}{55}+3\cdot\left(-\dfrac{178}{165}\right)-6\cdot\dfrac{32}{33}=\dfrac{1659-534-960}{165}=\dfrac{165}{165}=1$ ✓.

Vậy hệ có nghiệm duy nhất $(x;y;z)=\left(\dfrac{79}{55};\,-\dfrac{178}{165};\,\dfrac{32}{33}\right)\approx(1{,}436;\,-1{,}079;\,0{,}970).$

---

##

c) $\begin{cases} 2x + y - 6z = 1 \\ 3x + 2y - 5z = 5 \\ 7x + 4y - 17z = 7 \end{cases}$

Khử $y$. Lấy $2\cdot(1)-(2)$:
$$2(2x+y-6z)-(3x+2y-5z)=2\cdot1-5 \Rightarrow x-7z=-3 \quad (4)$$

Lấy $2\cdot(2)-(3)$:
$$2(3x+2y-5z)-(7x+4y-17z)=2\cdot5-7 \Rightarrow -x+7z=3 \quad (5)$$

Phương trình (5) chính là (4) nhân với $-1$, nên (4) và (5) trùng nhau. Thực chất hệ chỉ còn hai phương trình độc lập (dễ kiểm tra $(3)=2\cdot(1)+(2)$), do đó hệ có vô số nghiệm.

Biểu diễn nghiệm. Đặt $z=t\ (t\in\mathbb{R})$. Từ (4): $x=7t-3$. Thay vào (1):
$$y=1-2x+6z=1-2(7t-3)+6t=7-8t.$$

Thử lại (2): $3(7t-3)+2(7-8t)-5t=21t-9+14-16t-5t=5$ ✓ (đúng với mọi $t$).

Vậy hệ có vô số nghiệm: $(x;y;z)=(7t-3;\,7-8t;\,t),\ t\in\mathbb{R}.$

---

##

d) $\begin{cases} 5x + 2y - 7z = 6 \\ 2x + 3y + 2z = 7 \\ 9x + 8y - 3z = 1 \end{cases}$

Nhận xét. Lấy $1\cdot(1)+2\cdot(2)$:
$$(5x+2y-7z)+2(2x+3y+2z)=6+2\cdot7 \Rightarrow 9x+8y-3z=20.$$

Nhưng phương trình (3) lại cho $9x+8y-3z=1$. Hai kết quả mâu thuẫn ($20\ne 1$) với cùng một vế trái.

Vậy hệ vô nghiệm.

Đáp số