Giải Bài 1.16 trang 24 Chuyên đề Toán 10

Lời giải

Phân tích mẫu số. Ta có hằng đẳng thức
$$x^3+1=(x+1)(x^2-x+1),$$
nên mẫu số chung ở vế phải đúng bằng $x^3+1$. Quy đồng vế phải:
$$\frac{A}{x+1}+\frac{Bx+C}{x^2-x+1}=\frac{A(x^2-x+1)+(Bx+C)(x+1)}{(x+1)(x^2-x+1)}.$$

Đồng nhất tử số. Vì hai phân thức bằng nhau và có cùng mẫu $x^3+1$ với mọi $x$ thuộc tập xác định, nên tử số bằng nhau:
$$1=A(x^2-x+1)+(Bx+C)(x+1).$$
Khai triển vế phải:
$$A(x^2-x+1)+(Bx+C)(x+1)=Ax^2-Ax+A+Bx^2+Bx+Cx+C,$$
$$=(A+B)x^2+(-A+B+C)x+(A+C).$$
Đồng nhất với $1=0\cdot x^2+0\cdot x+1$, ta được hệ:
$$\begin{cases}A+B=0\\ -A+B+C=0\\ A+C=1\end{cases}$$

Giải hệ. Từ phương trình thứ nhất: $B=-A$. Từ phương trình thứ ba: $C=1-A$. Thay vào phương trình thứ hai:
$$-A+(-A)+(1-A)=0\ \Rightarrow\ -3A+1=0\ \Rightarrow\ A=\frac{1}{3}.$$
Suy ra
$$B=-\frac{1}{3},\qquad C=1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}.$$

Kiểm tra lại. Với $A=\dfrac13,\ B=-\dfrac13,\ C=\dfrac23$:
$$\frac{1}{3(x+1)}+\frac{-\frac13 x+\frac23}{x^2-x+1}=\frac{\frac13(x^2-x+1)+\left(-\frac13 x+\frac23\right)(x+1)}{x^3+1}.$$
Tử số: $\dfrac13(x^2-x+1)+\left(-\dfrac13x^2-\dfrac13x+\dfrac23x+\dfrac23\right)=\dfrac13x^2-\dfrac13x+\dfrac13-\dfrac13x^2+\dfrac13x+\dfrac23=1.$ Đúng bằng $1$.

Vậy $A=\dfrac{1}{3},\ B=-\dfrac{1}{3},\ C=\dfrac{2}{3}.$

Đáp số