Giải Bài 1.8 trang 21 Chuyên đề Toán 10

Lời giải

Lập hệ phương trình.

Gọi tuổi hiện nay của em Hà, chị Mai và anh Nam lần lượt là $x$, $y$, $z$ (tuổi), điều kiện $x, y, z > 0$ và $x, z > 7$.

- Tuổi anh Nam gấp ba lần tuổi em Hà:
$$z = 3x \;\Leftrightarrow\; 3x - z = 0.$$

- Cách đây bảy năm, tuổi chị Mai bằng nửa tuổi anh Nam (khi đó Mai $y-7$ tuổi, Nam $z-7$ tuổi):
$$y - 7 = \dfrac{1}{2}(z - 7) \;\Leftrightarrow\; 2y - z = 7.$$

- Ba năm nữa, tuổi anh Nam bằng tổng số tuổi chị Mai và em Hà (khi đó mỗi người thêm 3 tuổi):
$$z + 3 = (y + 3) + (x + 3) \;\Leftrightarrow\; x + y - z = -3.$$

Ta được hệ phương trình bậc nhất ba ẩn:
$$\begin{cases} 3x - z = 0 \\ 2y - z = 7 \\ x + y - z = -3 \end{cases}$$

Giải hệ.

Từ phương trình thứ nhất: $z = 3x$.

Thay $z = 3x$ vào hai phương trình còn lại:
$$\begin{cases} 2y - 3x = 7 \\ x + y - 3x = -3 \end{cases} \;\Leftrightarrow\; \begin{cases} 2y - 3x = 7 \\ y - 2x = -3 \end{cases}$$

Từ phương trình $y - 2x = -3$ suy ra $y = 2x - 3$. Thay vào $2y - 3x = 7$:
$$2(2x - 3) - 3x = 7 \;\Leftrightarrow\; 4x - 6 - 3x = 7 \;\Leftrightarrow\; x = 13.$$

Do đó:
$$y = 2\cdot 13 - 3 = 23, \qquad z = 3\cdot 13 = 39.$$

Kiểm tra lại đáp số.

- Nam $39$ tuổi $= 3 \times 13$ (gấp ba lần tuổi Hà) ✓
- Bảy năm trước: Mai $23 - 7 = 16$, Nam $39 - 7 = 32$; mà $16 = \dfrac{1}{2}\cdot 32$ ✓
- Ba năm nữa: Nam $39 + 3 = 42$; Mai $+$ Hà $= 26 + 16 = 42$ ✓

Kết luận. Em Hà $13$ tuổi, chị Mai $23$ tuổi, anh Nam $39$ tuổi.

Đáp số