Giải Bài 1.7 trang 21 Chuyên đề Toán 10

Lời giải

Phân tích đề bài.

Gọi $x,\ y,\ z$ lần lượt là giá của ba mặt hàng. Thị trường cân bằng khi lượng cung bằng lượng cầu ở từng mặt hàng, tức là:
$$Q_{S_1}=Q_{D_1},\quad Q_{S_2}=Q_{D_2},\quad Q_{S_3}=Q_{D_3}.$$

Lập hệ phương trình.

*Mặt hàng 1:* $-4+x = 70 - x - 2y - 6z$
$$\Rightarrow 2x + 2y + 6z = 74 \Rightarrow x + y + 3z = 37.$$

*Mặt hàng 2:* $-3+y = 76 - 3x - y - 4z$
$$\Rightarrow 3x + 2y + 4z = 79.$$

*Mặt hàng 3:* $-6+3z = 70 - 2x - 3y - 2z$
$$\Rightarrow 2x + 3y + 5z = 76.$$

Ta được hệ phương trình bậc nhất ba ẩn:
$$\begin{cases} x + y + 3z = 37 &(1)\\ 3x + 2y + 4z = 79 &(2)\\ 2x + 3y + 5z = 76 &(3)\end{cases}$$

Giải hệ bằng phương pháp thế (khử ẩn).

Từ $(1)$ rút $x = 37 - y - 3z$.

Thế vào $(2)$:
$$3(37 - y - 3z) + 2y + 4z = 79 \Rightarrow 111 - y - 5z = 79 \Rightarrow y + 5z = 32. \quad (A)$$

Thế vào $(3)$:
$$2(37 - y - 3z) + 3y + 5z = 76 \Rightarrow 74 + y - z = 76 \Rightarrow y - z = 2. \quad (B)$$

Lấy $(A) - (B)$: $\ 6z = 30 \Rightarrow z = 5.$

Từ $(B)$: $\ y = z + 2 = 7.$

Từ $(1)$: $\ x = 37 - y - 3z = 37 - 7 - 15 = 15.$

Kiểm tra lại đáp số.

Thay $x=15,\ y=7,\ z=5$ vào ba phương trình:
- $(1): 15 + 7 + 3\cdot5 = 37$ ✓
- $(2): 3\cdot15 + 2\cdot7 + 4\cdot5 = 45 + 14 + 20 = 79$ ✓
- $(3): 2\cdot15 + 3\cdot7 + 5\cdot5 = 30 + 21 + 25 = 76$ ✓

Kiểm tra lượng cung – cầu tại giá cân bằng:
- Mặt hàng 1: $Q_{S_1} = -4+15 = 11$; $\ Q_{D_1} = 70-15-14-30 = 11$ ✓
- Mặt hàng 2: $Q_{S_2} = -3+7 = 4$; $\ Q_{D_2} = 76-45-7-20 = 4$ ✓
- Mặt hàng 3: $Q_{S_3} = -6+15 = 9$; $\ Q_{D_3} = 70-30-21-10 = 9$ ✓

Các lượng cung, cầu đều bằng nhau và dương, nên giá tìm được là hợp lệ.

Kết luận. Giá cân bằng cung – cầu của ba mặt hàng lần lượt là $x = 15,\ y = 7,\ z = 5$ (đơn vị tiền tệ).

Đáp số