Giải Luyện tập 2 trang 21 Chuyên đề Toán 10

Lời giải

Thiết lập điều kiện cân bằng thị trường.

Thị trường đạt cân bằng khi với mỗi mặt hàng, lượng người bán bằng lòng bán đúng bằng lượng người mua bằng lòng mua, tức là $Q_{S_1}=Q_{D_1}$, $Q_{S_2}=Q_{D_2}$, $Q_{S_3}=Q_{D_3}$.

Mặt hàng cua: $Q_{S_1}=Q_{D_1}$
$$-300+x=1300-3x+4y-z$$
$$x+3x-4y+z=1300+300\ \Rightarrow\ 4x-4y+z=1600.$$

Mặt hàng tôm: $Q_{S_2}=Q_{D_2}$
$$-450+3y=1150+2x-5y-z$$
$$-2x+3y+5y+z=1150+450\ \Rightarrow\ -2x+8y+z=1600.$$

Mặt hàng cá: $Q_{S_3}=Q_{D_3}$
$$-400+2z=900-2x-3y+4z$$
$$2x+3y+2z-4z=900+400\ \Rightarrow\ 2x+3y-2z=1300.$$

Vậy ta có hệ phương trình bậc nhất ba ẩn:
$$\begin{cases}4x-4y+z=1600\\ -2x+8y+z=1600\\ 2x+3y-2z=1300\end{cases}$$

Giải hệ.

Lấy phương trình thứ nhất trừ phương trình thứ hai để khử $z$:
$$(4x-4y+z)-(-2x+8y+z)=1600-1600$$
$$6x-12y=0\ \Rightarrow\ x=2y.$$

Thay $x=2y$ vào phương trình thứ hai:
$$-2(2y)+8y+z=1600\ \Rightarrow\ 4y+z=1600\ \Rightarrow\ z=1600-4y.$$

Thay $x=2y$ và $z=1600-4y$ vào phương trình thứ ba:
$$2(2y)+3y-2(1600-4y)=1300$$
$$4y+3y-3200+8y=1300$$
$$15y=4500\ \Rightarrow\ y=300.$$

Suy ra:
$$x=2y=600,\qquad z=1600-4\cdot 300=400.$$

Kiểm tra lại. Thay $x=600,\ y=300,\ z=400$ vào ba phương trình:
- $4\cdot600-4\cdot300+400=2400-1200+400=1600$ ✓
- $-2\cdot600+8\cdot300+400=-1200+2400+400=1600$ ✓
- $2\cdot600+3\cdot300-2\cdot400=1200+900-800=1300$ ✓

Khi đó các lượng cung đều dương và hợp lí: $Q_{S_1}=-300+600=300$ (kg), $Q_{S_2}=-450+3\cdot300=450$ (kg), $Q_{S_3}=-400+2\cdot400=400$ (kg).

Kết luận. Mức giá làm cả người bán và người mua cùng hài lòng là: giá cua $x=600$ nghìn đồng/kg, giá tôm $y=300$ nghìn đồng/kg, giá cá $z=400$ nghìn đồng/kg.

Đáp số