Giải Luyện tập 3 trang 12 Chuyên đề Toán 10

Lời giải

## a)

Xét hệ $\begin{cases} 2x + y - 3z = 3 \\ x + y + 3z = 2 \\ 3x - 2y + z = -1 \end{cases}$

Bước 1 — Khử ẩn $z$. Cộng vế với vế phương trình (1) và (2) để triệt tiêu $z$:
$$(2x + y - 3z) + (x + y + 3z) = 3 + 2 \;\Rightarrow\; 3x + 2y = 5 \quad (I).$$

Bước 2. Lấy $3\times$(3) rồi trừ đi (2) để tiếp tục triệt tiêu $z$:
$$3(3x - 2y + z) - (x + y + 3z) = 3\cdot(-1) - 2 \;\Rightarrow\; 9x - 6y + 3z - x - y - 3z = -5,$$
$$\Rightarrow\; 8x - 7y = -5 \quad (II).$$

Bước 3 — Giải hệ hai ẩn $(I),(II)$. Nhân (I) với $7$, nhân (II) với $2$ rồi cộng lại:
$$\begin{cases} 21x + 14y = 35 \\ 16x - 14y = -10 \end{cases} \;\Rightarrow\; 37x = 25 \;\Rightarrow\; x = \dfrac{25}{37}.$$

Thay vào (I): $2y = 5 - 3\cdot\dfrac{25}{37} = \dfrac{185 - 75}{37} = \dfrac{110}{37} \Rightarrow y = \dfrac{55}{37}.$

Bước 4 — Tìm $z$. Thay vào (2): $3z = 2 - x - y = 2 - \dfrac{25}{37} - \dfrac{55}{37} = \dfrac{74 - 80}{37} = -\dfrac{6}{37} \Rightarrow z = -\dfrac{2}{37}.$

Kiểm tra lại:
- (1): $2\cdot\dfrac{25}{37} + \dfrac{55}{37} - 3\cdot\left(-\dfrac{2}{37}\right) = \dfrac{50 + 55 + 6}{37} = \dfrac{111}{37} = 3$ ✓
- (2): $\dfrac{25}{37} + \dfrac{55}{37} + 3\cdot\left(-\dfrac{2}{37}\right) = \dfrac{25 + 55 - 6}{37} = \dfrac{74}{37} = 2$ ✓
- (3): $3\cdot\dfrac{25}{37} - 2\cdot\dfrac{55}{37} + \left(-\dfrac{2}{37}\right) = \dfrac{75 - 110 - 2}{37} = -\dfrac{37}{37} = -1$ ✓

Vậy hệ có nghiệm duy nhất $\left(x; y; z\right) = \left(\dfrac{25}{37}; \dfrac{55}{37}; -\dfrac{2}{37}\right).$

##

b)

Xét hệ $\begin{cases} 4x + y + 3z = -3 \\ 2x + y - z = 1 \\ 5x + 2y = 1 \end{cases}$

Bước 1 — Khử ẩn $z$. Lấy phương trình (1) trừ phương trình (2):
$$(4x + y + 3z) - (2x + y - z) = -3 - 1 \;\Rightarrow\; 2x + 4z = -4 \;\Rightarrow\; x + 2z = -2 \quad (I).$$

Bước 2. Từ (2) rút $y = 1 - 2x + z$, thay vào phương trình (3):
$$5x + 2(1 - 2x + z) = 1 \;\Rightarrow\; 5x + 2 - 4x + 2z = 1 \;\Rightarrow\; x + 2z = -1 \quad (II).$$

Bước 3 — Kết luận. So sánh (I) và (II):
$$x + 2z = -2 \quad\text{và}\quad x + 2z = -1,$$
mà $-2 \neq -1$ nên hai điều kiện này mâu thuẫn, không có bộ $(x; y; z)$ nào thỏa mãn đồng thời.

Vậy hệ phương trình vô nghiệm.

##

c)

Xét hệ $\begin{cases} x + 2z = -2 \\ 2x + y - z = 1 \\ 4x + y + 3z = -3 \end{cases}$

Bước 1 — Khử ẩn. Lấy phương trình (3) trừ phương trình (2):
$$(4x + y + 3z) - (2x + y - z) = -3 - 1 \;\Rightarrow\; 2x + 4z = -4 \;\Rightarrow\; x + 2z = -2.$$
Đây chính là phương trình (1). Do đó phương trình (3) không cho thêm thông tin mới: hệ chỉ thực chất gồm (1) và (2) nên có vô số nghiệm.

Bước 2 — Đặt tham số. Đặt $z = t$ với $t \in \mathbb{R}$.

Từ (1): $x = -2 - 2t.$

Từ (2): $y = 1 - 2x + z = 1 - 2(-2 - 2t) + t = 1 + 4 + 4t + t = 5 + 5t.$

Kiểm tra lại với (3):
$$4x + y + 3z = 4(-2 - 2t) + (5 + 5t) + 3t = -8 - 8t + 5 + 5t + 3t = -3 \text{ (đúng với mọi } t).$$

Vậy hệ có vô số nghiệm, dạng $\left(x; y; z\right) = \left(-2 - 2t;\; 5 + 5t;\; t\right)$ với $t \in \mathbb{R}.$

Đáp số