Giải Hoạt động 1 trang 16 Chuyên đề Toán 10

Lời giải

Tóm tắt đề: Một đàn gà trưởng thành có tổng cộng $3000$ con, tỉ lệ giữa gà trống và gà mái là $5:3$. Để nuôi lấy giống, tỉ lệ thích hợp giữa gà trống và gà mái là $1:10{,}5$ (cứ $1$ gà trống thì cần $10{,}5$ gà mái), nên phải chuyển bớt một số gà trống sang nuôi lấy thịt.

Gọi $x$, $y$ lần lượt là số gà trống, số gà mái của đàn và $z$ là số gà trống cần chuyển sang nuôi lấy thịt.

a) Điều kiện của $x$, $y$, $z$

Vì $x$, $y$ là số con gà trong đàn và $z$ là số gà trống được chuyển đi nên chúng là số tự nhiên; số gà chuyển đi không vượt quá số gà trống đang có và cả đàn chỉ có $3000$ con. Do đó:
$$x,\ y \in \mathbb{N}^*,\qquad z \in \mathbb{N},\qquad 0 \le z \le x,\qquad x,\ y \le 3000.$$

b) Lập hệ phương trình bậc nhất ba ẩn

- Cả đàn có $3000$ con gà gồm gà trống và gà mái:
$$x + y = 3000.$$
- Tỉ lệ gà trống và gà mái là $5:3$, tức $\dfrac{x}{y} = \dfrac{5}{3}$, suy ra:
$$3x - 5y = 0.$$
- Sau khi chuyển $z$ con gà trống đi, số gà trống còn lại là $x - z$; tỉ lệ gà trống còn lại so với gà mái là $1:10{,}5$, tức $\dfrac{x-z}{y} = \dfrac{1}{10{,}5}$, suy ra $10{,}5(x - z) = y$, hay:
$$10{,}5x - y - 10{,}5z = 0.$$

Vậy ta có hệ phương trình bậc nhất ba ẩn:
$$\begin{cases} x + y = 3000 \\ 3x - 5y = 0 \\ 10{,}5x - y - 10{,}5z = 0 \end{cases}$$

c) Giải hệ và trả lời bài toán

Từ hai phương trình đầu chỉ chứa $x$, $y$:
$$\begin{cases} x + y = 3000 \\ 3x - 5y = 0 \end{cases}$$
Từ $3x = 5y$ ta có $x = \dfrac{5y}{3}$. Thế vào $x + y = 3000$:
$$\dfrac{5y}{3} + y = 3000 \;\Rightarrow\; \dfrac{8y}{3} = 3000 \;\Rightarrow\; y = 1125,\qquad x = 3000 - 1125 = 1875.$$

Thế $x = 1875$, $y = 1125$ vào phương trình thứ ba:
$$10{,}5\cdot 1875 - 1125 - 10{,}5z = 0 \;\Rightarrow\; 19687{,}5 - 1125 = 10{,}5z \;\Rightarrow\; 10{,}5z = 18562{,}5,$$
$$z = \dfrac{18562{,}5}{10{,}5} \approx 1767{,}86.$$

Kiểm tra: với $x = 1875$, $y = 1125$ thì $x + y = 3000$ (đúng) và $\dfrac{x}{y} = \dfrac{1875}{1125} = \dfrac{5}{3}$ (đúng tỉ lệ $5:3$). Vì $z$ phải là số nguyên con gà nên lấy $z \approx 1768$. Khi đó số gà trống còn lại $x - z \approx 107$ và $\dfrac{y}{x-z} = \dfrac{1125}{107} \approx 10{,}5$, đúng tỉ lệ gà giống $1:10{,}5$.

Trả lời: Cần chuyển khoảng $1768$ con gà trống sang mục đích nuôi lấy thịt để đạt tỉ lệ gà giống thích hợp.

Đáp số