Giải Bài 1.6 trang 15 Chuyên đề Toán 10

Lời giải

a) Vì $(x_0; y_0; z_0)$ là nghiệm của hệ nên với mỗi $i = 1, 2, 3$ ta có:

$$a_i x_0 + b_i y_0 + c_i z_0 = d_i.$$

Vì $(x_1; y_1; z_1)$ cũng là nghiệm của hệ nên với mỗi $i = 1, 2, 3$ ta có:

$$a_i x_1 + b_i y_1 + c_i z_1 = d_i.$$

Cộng vế với vế hai đẳng thức trên:

$$a_i(x_0 + x_1) + b_i(y_0 + y_1) + c_i(z_0 + z_1) = 2d_i.$$

Chia cả hai vế cho $2$:

$$a_i \cdot \dfrac{x_0 + x_1}{2} + b_i \cdot \dfrac{y_0 + y_1}{2} + c_i \cdot \dfrac{z_0 + z_1}{2} = d_i.$$

Đẳng thức này đúng với cả ba phương trình ($i = 1, 2, 3$), nghĩa là bộ ba số $\left(\dfrac{x_0 + x_1}{2}; \dfrac{y_0 + y_1}{2}; \dfrac{z_0 + z_1}{2}\right)$ thỏa mãn cả ba phương trình của hệ. Vậy nó cũng là một nghiệm của hệ (đpcm).

b) Giả sử hệ có hai nghiệm phân biệt, gọi là $A = (x_0; y_0; z_0)$ và $B = (x_1; y_1; z_1)$ với $A \neq B$.

Theo câu a), trung điểm của $A$ và $B$ là

$$M_1 = \left(\dfrac{x_0 + x_1}{2}; \dfrac{y_0 + y_1}{2}; \dfrac{z_0 + z_1}{2}\right)$$

cũng là một nghiệm của hệ. Vì $A \neq B$ nên $M_1$ khác cả $A$ và $B$ (trung điểm của hai điểm phân biệt không trùng với điểm đầu mút nào). Như vậy ta thu được một nghiệm mới $M_1$.

Bây giờ $A$ và $M_1$ lại là hai nghiệm phân biệt của hệ. Áp dụng câu a) một lần nữa cho $A$ và $M_1$, ta được trung điểm

$$M_2 = \left(\dfrac{A + M_1}{2}\right)$$

cũng là một nghiệm, và $M_2$ khác $A$, khác $M_1$.

Tiếp tục quá trình này: cứ mỗi bước lấy trung điểm của $A$ với nghiệm vừa tìm được $M_{n-1}$ để thu được nghiệm mới $M_n$. Khi đó mỗi điểm có dạng

$$M_n = A + \dfrac{1}{2^{\,n}}(B - A),$$

và vì $B \neq A$ nên các giá trị $\dfrac{1}{2^{\,n}}$ đôi một khác nhau kéo theo các điểm $M_1, M_2, M_3, \ldots$ đôi một phân biệt. Quá trình này không bao giờ dừng, nên ta thu được vô số nghiệm phân biệt.

Vậy nếu hệ phương trình bậc nhất ba ẩn có hai nghiệm phân biệt thì nó có vô số nghiệm (đpcm).

Đáp số