Giải Bài 1.3 trang 15 Chuyên đề Toán 10

Lời giải

Ta dùng phương pháp Gauss: biến đổi hệ về dạng tam giác (hoặc dạng bậc thang) bằng các phép biến đổi tương đương trên các phương trình, rồi giải ngược từ dưới lên.

a) $\begin{cases} 2x - y - z = 2 \\ x + y = 3 \\ x - y + z = 2 \end{cases}$

Đổi chỗ phương trình thứ nhất và thứ hai để hệ số của $x$ ở phương trình đầu bằng $1$, rồi khử $x$ ở hai phương trình dưới (lấy $d_2 - 2d_1$ và $d_3 - d_1$):

$\begin{cases} x + y = 3 \\ 2x - y - z = 2 \\ x - y + z = 2 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x + y = 3 \\ -3y - z = -4 \\ -2y + z = -1 \end{cases}$

Cộng hai phương trình cuối: $-5y = -5 \Leftrightarrow y = 1$.

Thay $y = 1$ vào $-2y + z = -1$: $-2 + z = -1 \Leftrightarrow z = 1$.

Thay $y = 1$ vào $x + y = 3$: $x = 2$.

Vậy hệ có nghiệm duy nhất $(x; y; z) = (2; 1; 1)$.

Thử lại: $2 \cdot 2 - 1 - 1 = 2$; $2 + 1 = 3$; $2 - 1 + 1 = 2$ (đúng cả ba phương trình).

b) $\begin{cases} 3x - y - z = 2 \\ x + 2y + z = 5 \\ -x + y = 2 \end{cases}$

Đưa phương trình có hệ số của $x$ bằng $1$ lên đầu, rồi khử $x$ (lấy $d_2 - 3d_1$ và $d_3 + d_1$):

$\begin{cases} x + 2y + z = 5 \\ 3x - y - z = 2 \\ -x + y = 2 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x + 2y + z = 5 \\ -7y - 4z = -13 \\ 3y + z = 7 \end{cases}$

Từ phương trình cuối: $z = 7 - 3y$. Thế vào phương trình thứ hai:

$-7y - 4(7 - 3y) = -13 \Leftrightarrow 5y - 28 = -13 \Leftrightarrow 5y = 15 \Leftrightarrow y = 3$.

Suy ra $z = 7 - 3 \cdot 3 = -2$ và $x = 5 - 2y - z = 5 - 6 + 2 = 1$.

Vậy hệ có nghiệm duy nhất $(x; y; z) = (1; 3; -2)$.

Thử lại: $3 - 3 + 2 = 2$; $1 + 6 - 2 = 5$; $-1 + 3 = 2$ (đúng cả ba phương trình).

c) $\begin{cases} x - 3y - z = -6 \\ 2x - y + 2z = 6 \\ 4x - 7y = -6 \end{cases}$

Khử $x$ ở hai phương trình dưới (lấy $d_2 - 2d_1$ và $d_3 - 4d_1$):

$\begin{cases} x - 3y - z = -6 \\ 5y + 4z = 18 \\ 5y + 4z = 18 \end{cases}$

Hai phương trình cuối trùng nhau, lấy $d_3 - d_2$ được $0 = 0$ (luôn đúng). Hệ đã cho tương đương với hệ hai phương trình $\begin{cases} x - 3y - z = -6 \\ 5y + 4z = 18 \end{cases}$ nên có vô số nghiệm.

Đặt $z = t$ ($t \in \mathbb{R}$). Từ $5y + 4z = 18$ suy ra $y = \dfrac{18 - 4t}{5}$.

Từ phương trình đầu: $x = -6 + 3y + z = -6 + \dfrac{3(18 - 4t)}{5} + t = \dfrac{24 - 7t}{5}$.

Vậy hệ có vô số nghiệm $(x; y; z) = \left(\dfrac{24 - 7t}{5};\ \dfrac{18 - 4t}{5};\ t\right)$ với $t \in \mathbb{R}$.

(Chẳng hạn $t = 2$ cho nghiệm $(2; 2; 2)$, thử lại thỏa mãn cả ba phương trình.)

d) $\begin{cases} x - 3y - z = -6 \\ 2x - y + 2z = 6 \\ 4x - 7y = 3 \end{cases}$

Khử $x$ tương tự câu

c) (lấy $d_2 - 2d_1$ và $d_3 - 4d_1$):

$\begin{cases} x - 3y - z = -6 \\ 5y + 4z = 18 \\ 5y + 4z = 27 \end{cases}$

Lấy $d_3 - d_2$ được $0 = 9$ (vô lí).

Vậy hệ vô nghiệm.

e) $\begin{cases} 3x - y - 7z = 2 \\ 4x - y + z = 11 \\ -5x - y - 9z = -22 \end{cases}$

Ba phương trình đều chứa $-y$ nên ta khử $y$ trước (lấy $d_2 - d_1$ và $d_3 - d_1$):

$\begin{cases} 3x - y - 7z = 2 \\ x + 8z = 9 \\ -8x - 2z = -24 \end{cases}$

Chia phương trình cuối cho $-2$: $4x + z = 12 \Leftrightarrow z = 12 - 4x$. Thế vào $x + 8z = 9$:

$x + 8(12 - 4x) = 9 \Leftrightarrow 96 - 31x = 9 \Leftrightarrow x = \dfrac{87}{31}$.

Suy ra $z = 12 - 4 \cdot \dfrac{87}{31} = \dfrac{372 - 348}{31} = \dfrac{24}{31}$.

Từ phương trình đầu: $y = 3x - 7z - 2 = \dfrac{261}{31} - \dfrac{168}{31} - 2 = \dfrac{93}{31} - 2 = 3 - 2 = 1$.

Vậy hệ có nghiệm duy nhất $(x; y; z) = \left(\dfrac{87}{31};\ 1;\ \dfrac{24}{31}\right)$.

Thử lại: $3 \cdot \dfrac{87}{31} - 1 - 7 \cdot \dfrac{24}{31} = \dfrac{261 - 168}{31} - 1 = 3 - 1 = 2$; $4 \cdot \dfrac{87}{31} - 1 + \dfrac{24}{31} = \dfrac{372}{31} - 1 = 11$; $-5 \cdot \dfrac{87}{31} - 1 - 9 \cdot \dfrac{24}{31} = \dfrac{-435 - 216}{31} - 1 = -21 - 1 = -22$ (đúng cả ba phương trình).

f) $\begin{cases} 2x - 3y - 4z = -2 \\ 5x - y - 2z = 3 \\ 7x - 4y - 6z = 1 \end{cases}$

Nhận xét: cộng hai phương trình đầu được $7x - 4y - 6z = 1$, đúng bằng phương trình thứ ba. Do đó lấy $d_3 - d_1 - d_2$ được $0 = 0$: hệ chỉ còn hai phương trình độc lập nên có vô số nghiệm.

Khử $z$: lấy $2d_2 - d_1$ được $8x + y = 8 \Leftrightarrow y = 8 - 8x$.

Thế vào $d_2$: $5x - (8 - 8x) - 2z = 3 \Leftrightarrow 13x - 11 = 2z \Leftrightarrow z = \dfrac{13x - 11}{2}$.

Đặt $x = t$ ($t \in \mathbb{R}$).

Vậy hệ có vô số nghiệm $(x; y; z) = \left(t;\ 8 - 8t;\ \dfrac{13t - 11}{2}\right)$ với $t \in \mathbb{R}$.

(Chẳng hạn $t = 1$ cho nghiệm $(1; 0; 1)$, thử lại thỏa mãn cả ba phương trình.)

Kiểm tra bằng máy tính cầm tay (chức năng giải hệ ba phương trình bậc nhất ba ẩn): câu a) máy cho $x = 2;\ y = 1;\ z = 1$; câu

b) máy cho $x = 1;\ y = 3;\ z = -2$; câu

e) máy cho $x \approx 2{,}8065;\ y = 1;\ z \approx 0{,}7742$ (đúng với $\dfrac{87}{31};\ 1;\ \dfrac{24}{31}$); câu

c) và

f) máy báo "Infinite Sol" (vô số nghiệm); câu

d) máy báo "No-Solution" (vô nghiệm). Kết quả khớp với lời giải trên.

Đáp số