Giải Luyện tập 4 trang 14 Chuyên đề Toán 10

Lời giải

Cách dùng máy tính cầm tay (MTCT). Với máy Casio fx-580VN X: vào $\boxed{\text{MENU} \to \text{Equation/Func} \to \text{Simultaneous Equation} \to 3\text{ ẩn}}$ (máy fx-570ES Plus: $\text{MODE} \to 5\,(\text{EQN}) \to 2$). Nhập lần lượt bốn hệ số của mỗi phương trình theo cột $x,\ y,\ z$ và vế phải (ẩn khuyết thì nhập $0$), nhấn $=$ sau mỗi số. Nếu hệ có nghiệm duy nhất máy hiện lần lượt $x,\ y,\ z$; nếu máy báo No-Solution thì hệ vô nghiệm; nếu báo Infinite Sol thì hệ có vô số nghiệm (khi đó ta biểu diễn nghiệm bằng tay).

Ví dụ 3.
$$\begin{cases} x+y+z=2\\ 7x+3y+z=4\\ -5x+7y-2z=5\end{cases}$$
Nhập bảng hệ số $(1,1,1,2\,/\,7,3,1,4\,/\,-5,7,-2,5)$, máy hiện $x=0,\ y=1,\ z=1$.

Thử lại: $0+1+1=2$; $7\cdot0+3\cdot1+1=4$; $-5\cdot0+7\cdot1-2\cdot1=5$ (đều đúng). Vậy hệ có nghiệm duy nhất $(x;y;z)=(0;1;1)$.

Ví dụ 4.
$$\begin{cases} 2x+y-z=5\\ x+y+z=3\\ 5x+4y+2z=10\end{cases}$$
Nhập $(2,1,-1,5\,/\,1,1,1,3\,/\,5,4,2,10)$, máy báo No-Solution.

Kiểm tra bằng tay: lấy phương trình $(1)+(2)$ được $3x+2y=8$; lấy phương trình $(3)-2\times(2)$ được $5x+4y+2z-2x-2y-2z=10-6$, tức $3x+2y=4$. Hai kết quả mâu thuẫn vì $8\ne4$. Vậy hệ vô nghiệm.

Ví dụ 5.
$$\begin{cases} 5x+y-4z=2\\ x-y-z=-1\\ 3x+3y-2z=4\end{cases}$$
Nhập $(5,1,-4,2\,/\,1,-1,-1,-1\,/\,3,3,-2,4)$, máy báo Infinite Sol — hệ có vô số nghiệm. Máy không đưa ra nghiệm cụ thể nên ta biểu diễn bằng tay: từ phương trình $(2)$ có $x=y+z-1$. Thay vào $(1)$: $5(y+z-1)+y-4z=2 \Rightarrow 6y+z=7$; thay vào $(3)$: $3(y+z-1)+3y-2z=4 \Rightarrow 6y+z=7$ (trùng nhau). Đặt $y=t$ thì $z=7-6t$ và $x=t+(7-6t)-1=6-5t$.

Thử lại: $5(6-5t)+t-4(7-6t)=2$; $(6-5t)-t-(7-6t)=-1$; $3(6-5t)+3t-2(7-6t)=4$ (đúng với mọi $t$). Vậy hệ có vô số nghiệm $(x;y;z)=(6-5t;\ t;\ 7-6t),\ t\in\mathbb{R}$.

Luyện tập 3.

a) $$\begin{cases} 2x+y-3z=3\\ x+y+3z=2\\ 3x-2y+z=-1\end{cases}$$
Nhập $(2,1,-3,3\,/\,1,1,3,2\,/\,3,-2,1,-1)$, máy hiện $x=\dfrac{25}{37},\ y=\dfrac{55}{37},\ z=-\dfrac{2}{37}$.

Thử lại phương trình $(1)$: $2\cdot\dfrac{25}{37}+\dfrac{55}{37}-3\cdot\left(-\dfrac{2}{37}\right)=\dfrac{50+55+6}{37}=\dfrac{111}{37}=3$ (đúng). Vậy hệ có nghiệm duy nhất $\left(\dfrac{25}{37};\ \dfrac{55}{37};\ -\dfrac{2}{37}\right)$.

b) $$\begin{cases} 4x+y+3z=-3\\ 2x+y-z=1\\ 5x+2y=1\end{cases}$$
Ẩn $z$ khuyết ở phương trình $(3)$ nên nhập $(4,1,3,-3\,/\,2,1,-1,1\,/\,5,2,0,1)$, máy báo No-Solution.

Kiểm tra bằng tay: từ $(1)-(2)$ được $2x+4z=-4$, tức $x=-2-2z$; thay vào $(2)$ được $y=5+5z$. Thế vào $(3)$: $5(-2-2z)+2(5+5z)=0\ne1$, vô lí. Vậy hệ vô nghiệm.

c) $$\begin{cases} x+2z=-2\\ 2x+y-z=1\\ 4x+y+3z=-3\end{cases}$$
Ẩn $y$ khuyết ở phương trình $(1)$ nên nhập $(1,0,2,-2\,/\,2,1,-1,1\,/\,4,1,3,-3)$, máy báo Infinite Sol. Biểu diễn bằng tay: lấy $(3)-(2)$ được $2x+4z=-4$, tức $x+2z=-2$ — trùng phương trình $(1)$, nên hệ chỉ còn hai ràng buộc độc lập. Đặt $z=t$ thì $x=-2-2t$ và từ $(2)$ có $y=1-2x+z=5+5t$.

Thử lại: $x+2z=-2$; $2x+y-z=1$; $4x+y+3z=-3$ (đúng với mọi $t$). Vậy hệ có vô số nghiệm $(x;y;z)=(-2-2t;\ 5+5t;\ t),\ t\in\mathbb{R}$.

Đáp số