Đề học sinh giỏi lớp 11 môn Toán năm 2022 2023 trường THPT Thị xã Quảng Trị

TRƯỜNG THPT THỊ XÃ

QUẢNG TRỊ

KỲ THI HỌC SINH GIỎI VĂN HÓA LỚP 11 THPT

Khóa ngày 11 tháng 4 năm 2023

Môn thi: TOÁN Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề

Câu I.(5,0 điểm) 1. Tìm m để hàm số sau liên tục tại 2 x :



3 2 6 2 2 1 2

x x khi x f x x m khi x

           

2. Giải phương trình: 2 2 2sin 2sin tan 4 x x x          

Câu II. (7,0 điểm)

1. Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là hình thang cân với

/ / , , 2 . AD BC AB BC a AD a    Tam giác SADvuông cân tại S và 3. SB a  a) Gọi M là trung điểm của SA, chứng minh rằng   / / BM SCD . b) Tính cosin của góc giữa hai đường thẳng BM và . CD c) Gọi G là trọng tâm của tam giác SCD , H là giao điểm của đường thẳng BG và mặt phẳng

  SAC . Tính tỉ số . HB HG

2. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hình chữ nhật ABCD . Trên tia đối của tia CD lấy điểm E sao cho CD CE  , điểm N là hình chiếu vuông góc của D lên đường thẳng BE .

a) Chứng minh AN CN  b) Tìm tọa độ điểm D biết   3;1 A  ,   6; 2 N  và điểm C thuộc đường thẳng : 2 5 0. x y    

Câu III. (4,0 điểm) 1. Giải hệ phương trình sau trên tập số thực     2

2 2

4 1 3 5 2 0

4 2 3 4 7

x x y y

x y x

      

    

.

2. Cho bảng hình vuông (6x6) gồm 36 hình vuông đơn vị, mỗi hình có diện tích bằng 1. Hỏi có bao nhiêu hình chữ nhật tạo thành từ các hình vuông đơn vị của bảng. Chọn ngẫu nhiên một hình chữ nhật trên, tính xác suất để hình chữ nhật chọn được có diện tích là số chẵn.

Câu IV. (4,0 điểm) 1. Cho dãy   n u xác định bởi

 

1 2

2 1 1 2 1 1 2 1

1, 2

1 . ... . ... , 2. n n n

u u

u u u u u u u n   

      

a) Chứng minh rằng 1 1 2 1 . ... , 1. n n u u u u n  

b) Tính

1 2

1 1 1 lim ...

n u u u         

2. a)Tìm số đo các góc của tam giác ABC sao cho biểu thức 2 2 sin cos cos P A B C    đạt giá trị lớn nhất

b) Cho , , a b c là các số thực không âm và không đồng thời bằng 0 thay đổi thỏa mãn điều kiện

2 2 2 6 . a b c b    Chứng minh rằng

      2 2 2 1 8 1 1 . 16 11 6 a b c b c       

--------------------HẾT--------------------- Thí sinh không được sử dụng tài liệu và MTCT (đối với môn Toán).

Họ và tên thí sinh:……………………………….Số báo danh:……………….

ĐỀ CHÍNH THỨC

Đề có 01 trang

HƯỚNG DẪN CHẤM HSG 11-NĂM HỌC 2022-2023 CÂU NỘI DUNG ĐIỂM Câu I ( 5,0 điểm)

1. (3 điểm). TXĐ   2; D  , 2 x D  và  2 2. f m  

Ta có



3 3

2 2 2

3

2 2

2 6 2 2 2 6 lim lim lim 2 2 2 2 2 6 lim lim . 2 2

x x x

x x

x x x x f x x x x x x x

  

 

                   

2 2 2 2 1 1 lim lim 2 4 2 2 x x x

x x         

và

 

3

2 2 2 3 3 2 6 1 1 lim lim . 2 12 4 2 6 6 x x x x x x            

Suy ra  2

1 1 1 lim . 4 12 6 x f x    

Hàm số  f x liên tục tại   2

1 11 2 lim 2 2 . 6 6 x x f x f m m         

0,5 0,5 0,5 0,5 1,0

2. (2,0 điểm). 2 2 2sin 2sin tan 4 x x x          

(1)

Điều kiện ( ) 2 x k k     

Pt(1)   2 sin sin2 1 sin 1 cos 2 2sin 1 sin2 2 cos cos x x x x x x x x              

    sin2 1 (sin cos ) 0 sin2 1 .sin 0 4 x x x x x               

sin 2 1

4 sin 0 4 4

x x k

x x k

    

                      

  k  .

Đối chiếu điều kiện ta có nghiệm phương trình là 4

4

x k

x k

 

 

      

  k 

0,5 0,5 0,5 0,5

Câu II (7,0 điểm)

1. (4 điểm)