Đề học sinh giỏi lớp 11 môn Toán năm 2023 2024 trường THPT Ngô Gia Tự Phú Yên

SỞ GD&ĐT PHÚ YÊN TRƯỜNG THPT NGÔ GIA TỰ

(Đề thi có 01 trang)

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG

NĂM HỌC 2023-2024

Môn thi: TOÁN Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian phát đề)

Câu 1. (5,0 điểm)

a) Giải phương trình: sin 2 3sin 6 sin10 . x x x + = −

b) Cho dãy số (un) xác định như sau: 1

2 n 1 n n

u 1

(n N*). u 2023u u +

=    = + 

Tìm 1 2 3 n

2 3 4 n 1

u u u u lim ... . u u u u +

  + + + +    

Câu 2. (6,0 điểm)

a) Giải phương trình: 3 1 5 4 4. x x x + + + = +

b) Giải hệ phương trình:

2 2

2 2 2 3 1 0

. 1 0

x y xy y

x y y

 + − + −=  + − + = 

Câu 3. (2,0 điểm) Cho tam giác ABC có , , BC a CA b AB c = = = à có diện tích là . S , , a b c m m m

. Biết rằng 2 2 2 2 . a b c m m m  + Chứng minh

2 4 .cot . a S A

Câu 4. (3,0 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ , Oxy cho tam giác ABC có phương trình đường thẳng chứa đường cao kẻ từ các đỉnh A, B, C lần lượt có phương trình là 2 0, 2 0, 3 0 x y x x y − = − = + − = . Tìm tọa độ các đỉnh

A, B, C biết độ dài đường cao đỉnh A của tam giác ABC bằng 12

5

và đỉnh A có hoành độ âm.

Câu 5. (2,0 điểm) Cho hình bình hành ABCD tâm O và 2 . AC AB = Gọi BE là trung tuyến của tam giác ABO và M là trung điểm của BC. Chứng minh EM vuông góc với BD.

Câu 6. (2,0 điểm) Cho , , a b c 4 ac b c = + Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

( )( )

2 2

2 3 225 3 3 4 3 a c P c b b c c b   = + + +   + +  

-------------------- Hết -------------------

SỞ GD&ĐT PHÚ YÊN TRƯỜNG THPT NGÔ GIA TỰ

ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG

NĂM HỌC 2023-2024

Môn: TOÁN Câu Nội dung Điểm 1

a) Giải phương trình: sin 2 3sin 6 sin10 x x x + = − 2,5 sin 2 3sin 6 sin10 sin 2 sin10 3sin 6 0 2sin 6 .cos4 3sin 6 0 x x x x x x x x x + = −  + + =  + =

sin 6 (2cos4 3) 0

sin 6 0

2cos4 3 0 ( )

( ). 6

x x

x

x vn

x k k 

 + =

=   + = 

 = 

0,5 0,5 0,5

0,5

0,5

b) Cho dãy số (un) xác định như sau: 1

2 n 1 n n

u 1

(n N*). u 2023u u +

=    = + 

Tìm 1 2 3 n

2 3 4 n 1

u u u u lim ... . u u u u +

  + + + +    

2,5

Ta có: 2 n 1 n n u u 2023u 0, n * + − =    (un ) tăng n u 1, n *.   

Giả sử dãy (un ) có giới hạn là a 2 a 2023a a a 0 1  = +  =  (vô lý) nên n limu = +

Ta có :

2 n n n 1 n

n 1 n 1 n n 1 n n n 1

u u (u u ) 1 1 1 u u u 2023u u 2023 u u

+

+ + + +

  − = = = −    

1 2 3 n

2 3 4 n 1 1 n 1 n 1

u u u u 1 1 1 1 1 ... 1 . u u u u 2023 u u 2023 u + + +

     + + + + = − = −        

Vậy: 1 2 3 n

2 3 4 n 1 n 1

u u u u 1 1 1 lim ... lim 1 . u u u u 2023 u 2023 + +

    + + + + = − =        

0,5

0,5

0,5

0,5

0,5

2

a) Giải phương trình: 2 2 3 6 4 (1) x x x + + + = + 3,0

ĐK: 1 x −

( ) ( ) 3 (1) 2 2 2 3 6 1 x x x −  + − + + = −

2( 1) 3( 1) 1 2 2 2 3 6 3 x x x x x + − −  = − + + + +

1 ( ) 2 3 1 (*) 2 2 2 3 6 3

x nhan

x x

   + 

=

= + + + +

Với 1 x = thì VT(*) = 1. Với 1 x  thì VT(*) < 1. Với 1 1 x −  thì VT(*) > 1. Phương trình (*) có nghiệm duy nhất 1. x = Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất 1. x =

0,5

0,5

0,5

0,5

0,5

0,5