Đề học sinh giỏi tỉnh lớp 11 môn Toán chuyên đợt 2 năm 2022 2023 sở GD ĐT Quảng Nam

ĐỀ CHÍNH THỨC

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TỈNH QUẢNG NAM

KỲ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH THPT ĐỢT 2

NĂM HỌC 2022-2023 Môn thi: TOÁN LỚP 11 (CHUYÊN)

Thời gian: 180 phút (không kể thời gian phát đề) Ngày thi: 15/3/2023

Câu 1. (3,0 điểm) Giải hệ phương trình sau:

( )

2 2

3 2 ( ) 2 4 2 2 , 6 4 1 2 1

x y y x x x y x y x x y x y

 + − − = + +  ∈  − − + = + + −  .

Câu 2. (3,0 điểm)

Cho dãy số ( ) n u thỏa mãn:

1

* 1

1 3

2( 1) 4 , 2 n n n u

u

u u n +

≤ ≤  +  = − ∀∈  

.

Chứng minh * 1 3, n u n ≤ ≤ ∀∈ và tìm giới hạn (nếu có) của dãy số ( ) n u .

Câu 3. (3,0 điểm) Cho đa thức P( )x với hệ số thực, thỏa mãn:

2 P( ).P( 1) P( 1), . x x x x x + = + + ∀∈

Chứng minh P( )x không phải là đa thức bậc lẻ và tìm P( )x .

Câu 4. (3,0 điểm)

a) Tìm tất cả các cặp số nguyên ( ; ) x y thỏa mãn 4 3 4 ( 2) ( 2) x y x + + = + .

b) Chứng minh rằng nếu p là số nguyên tố có dạng 4 3 ( ) p k k = + ∈ thì không tồn tại

1 p − số tự nhiên liên tiếp sao cho có thể phân chia tập hợp các số đó thành hai tập hợp con rời

nhau để tích tất cả các số thuộc tập hợp này bằng tích tất cả các số thuộc tập hợp kia.

Câu 5. (5,0 điểm) a) Cho tam giác nhọn ABC (AB > AC). Đường tròn (O) đường kính BC cắt AB, AC lần lượt tại F, E. Gọi H là giao điểm của BE và CF, đường thẳng AH cắt đường thẳng BC tại D, đường thẳng EF cắt đường thẳng BC tại K. Đường thẳng qua D song song với EF cắt hai đường thẳng AB, AC lần lượt tại M, N. Chứng minh bốn điểm M, O, N, K cùng nằm trên một đường tròn.

b) Cho tam giác ABC cân tại B,   0 BAC BCA 30 = = . Ba điểm D, E, F lần lượt thay đổi

trên ba cạnh AB, BC, AC sao cho   0 BFD BFE 60 = = . Gọi 1 ,p p lần lượt là chu vi của ABC ∆ ,

DEF ∆ . Chứng minh 1 2 p p ≤ .

Câu 6. (3,0 điểm) Tô màu tất cả các đỉnh của một đa giác lồi 10 đỉnh bằng hai màu xanh và đỏ (mỗi đỉnh một màu). Hỏi có bao nhiêu cách tô màu sao cho không có hai đỉnh liền kề nào của đa giác đó cùng màu đỏ?

---------- HẾT ---------- Thí sinh không được sử dụng tài liệu; Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.

Thí sinh không được sử dụng máy tính cầm tay. Họ và tên thí sinh:.............................................................; Số báo danh............................

Trang 1/7

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TỈNH QUẢNG NAM

KỲ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH THPT ĐỢT 2

NĂM HỌC 2022 - 2023

HDC CHÍNH THỨC

HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN: TOÁN LỚP 11 (CHUYÊN)

(Bản hướng dẫn này gồm 07 trang)

TT Nội dung Điểm

Câu 1 (3,0) Giải hệ phương trình sau: ( )

2 2

3 2 ( ) 2 4 2 2 , 6 4 1 2 1

x y y x x x y x y x x y x y

 + − − = + +  ∈  − − + = + + −  . 3,0

Điều kiện: 1; 1; 2 0. x y y x ≥− ≥ − ≥ 0,25 2 2 ( ) 2 4 2 2 x y y x x x y + − − = + + ( ) 2 ( ) 2 2 2 4 0 x y y x y x ⇔ + − − + − − = 0,5

2 ( 2 4) 1 0 2 2 x y y x y x

  + ⇔ − − + =     − +  

2 4 y x ⇔ = + . 0,25

Thay 2 4 y x = + vào phương trình còn lại ta được: 3 2 2 2 4 1 2 2 3 0 x x x x x − − + − + − + = (*). 0,25

- Với 1 x = − thỏa phương trình (*). Suy ra ( ; ) ( 1;2) x y = − là một nghiệm của hệ phương trình. 0,25

- Với 1 x > −, ta có: 3 2 2 2 4 1 2 2 3 0 x x x x x − − + − + − + = 3 2 5 3 2 2 1 ( 1) 2 2 3 ( 3) 0 x x x x x x x     ⇔ − − −− + − + − + − + =    

0,5

2 2 2 2( 2 3) 2 3 ( 1)( 2 3) 0 2 1 ( 1) 2 2 3 ( 3) x x x x x x x x x x x − − − − ⇔ + − − + + = + + + + + +

0,25

2 2 1 ( 2 3) ( 1) 0 2 1 ( 1) 2 2 3 ( 3) x x x x x x x

  ⇔ − − + + + =   + + + + + +  

0,25

2 2 3 0 3 x x x ⇔ − − = ⇔ = (vì 1 x > −). Suy ra ( ; ) (3;10) x y = là một nghiệm của hệ phương trình. 0,25

Vậy hệ phương trình đã cho có hai nghiệm: ( ; ) ( 1;2) x y = − , ( ; ) (3;10) x y = . 0,25