Đề kiểm tra định kỳ lần 2 lớp 10 môn Toán năm 2019 2020 trường chuyên Bắc Ninh

Câu 1 (3,5 điểm).

1) Cho phương trình ( )( ) 2 3 6 2 3 5 0 x x x x m + − − + − = (1)

a) Giải phương trình khi 46. m = b) Tìm tất cả các giá trị của tham số m sao cho phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt.

2) Giải hệ phương trình ( )( )

( )( ) 2 2 3 3 14

14 36

x y x y xy

x y x xy y

 + + =  + + + = 

Câu 2 (3,0 điểm)

Cho tam giác ABC, gọi M là trung điểm của cạnh AC và D là điểm trên cạnh BC sao cho BD = DM. Giả sử rằng 2BCP2

P- ACP2

P = AB.AC. Trên tia đối của tia AC lấy điểm P sao cho AB = AP.

1. Chứng minh DM là tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp tam giác BMP. 2. Chứng minh AD là phân giác của góc BAC. 3. Tính tích BD.DC theo AB và AC.

Câu 3 (1,0 điểm). Cho ,a b là các số thực dương. Chứng minh:

( )( ) ( )( ) ( )

( )( ) ( )

2 2

2 2 2 2 1 1 1 3 2. 1 1

a b b b a a ab a b a b a b b a

+ + + + + + + + ≥ + + +

Câu 4 (1,5 điểm). 1) Một tờ giấy được xé thành 4 mảnh, mỗi tờ giấy trong một số tờ giấy trong bốn mảnh nhỏ này lại được xé thành 4 mảnh nhỏ nữa, và một trong các mảnh nhỏ này lại được xé thành 4 mảnh,..., tiếp tục như vậy thì có khi nào ta thu được 2019 mảnh giấy hay không? Vì sao? 2) Cho n nguyên, 1 n > thỏa mãn 3 3 1 . n n − Chứng minh rằng n chẵn và n không chia hết cho 4. Câu 5 (1,0 điểm). Tìm tất cả các hàm số : f →   sao cho

( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 , , f xy f x f x yf x x x y + + + = ∀ ∈.

------------ Hết ------------ Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.

TRƯỜNG THPT CHUYÊN BẮC NINH

TỔ TOÁN - TIN

(Đề thi gồm 01 trang)

ĐỀ KIỂM TRA ĐỊNH KÌ LẦN 2

NĂM HỌC 2019 - 2020 Môn thi: TOÁN 10 Chuyên Dành cho các lớp 10: Toán 1, Toán 2 Thời gian: 150 phút, không kể thời gian phát đề

TRƯỜNG THPT CHUYÊN BĂC NINH KIỂM TRA ĐỊNH KÌ LẦN 2

NĂN HỌC 2019 - 2020 ĐÁP ÁN Môn thi: TOÁN 10 Chuyên Câu Nội dung Điểm

Câu 1 (3điểm )

a) 46 m = , PT có hai nghiệm 1,2 1 17 x = ±

b) ĐK 5 3 x −≤ ≤ . Đặt ( )( ) 3 5 t x x = − + , 0 1. t ≤≤

Ta có phương trình 2 3 2 45 0 t t m − − + = (2)

Pt đã cho có 2 nghiệm phân biệt ⇔ PT ẩn t có 1 nghiệm [ ) 0;1 t ∈

Lập bảng biến thiên của hàm 2 ( ) 3 2 45 f t t t = − + trên [ ) 0;1 .

Từ bảng biến thiên ta có ( ) 134 45;46 . 3 m   ∈ ∪    

2,5

điểm

2) ĐK 0 xy ≥

( )

( ) ( )

2

2

3 4 14 HPT 12 36

x y xy xy

x y x y xy

  + + =   ⇔   + + + =    

Đặt , x y u xy v + = =

Ta có hệ ( )

( )

2 2

2 2 3 4 14

12 36

u v v

u u v

 + =  + = 

(*) (hệ đẳng cấp bậc 3)

Nhận thấy 0 v ≠ nên đặt u kv = . Hệ (*) trở thành

( )

( )

3 2

3 2

3 3 4 14 1 6 3, , 1 2 12 36 4

x y v k k u v x y xy v k k

+ =   + =   ⇒ = ⇒ = = ⇒ ⇒   = + =    

là nghiệm

PT ( ) 2 1 3 2 2 3 2 2 3 2 2 3 2 2 3 0 ; ; , ; 4 2 2 2 2 t t x y    + − − + − + = ⇒ =      

1 điểm

Câu 2 (3điểm

1. Từ 2BCP2

P- ACP2

P = AB.AC suy ra 2BCP2

P = AC.(AB + AC) = AC.CP = 2CM.CP. Từ đó, ta có CBP2

P = CM.CP, vậy CB là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác MPB.

1 điểm

2. Do BD = DM nên DM cũng là tiếp tuyến của đường tròn (MPB). Suy ra

∠DBM = ∠BMD = ∠BPM. Suy ra ∠BAM = ∠MDC. Vậy tứ giác AMDB là tứ giác nội tiếp. Suy ra AD là phân giác của góc BAC.

1 điểm