Đề thi olympic truyền thống 30-4 TP. HCM môn Toán 10 lần thứ XX năm 2014 môn Toán

SỞGIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THÀNH PHỐHỒCHÍ MINH

ĐỀTHI OLYMPIC TRUYỀN THỐNG 30-4 MÔN TOÁN 10 LẦN THỨXX NĂM 2014

Môn : Toán Thời gian : 180 phút (không kểthời gian giao đề) Ngày thi : 05.04.2014

ĐỀCHÍNH THỨC Bài 1 (4, 0 điểm) Giải hệphương trình {︂√︀

5𝑥2 + 2𝑥𝑦+ 2𝑦2 + √︀

2𝑦2 + 2𝑥𝑦+ 5𝑦2 = 3(𝑥+ 𝑦) √2𝑥+ 𝑦+ 1 + 2 3√7𝑥+ 12𝑦+ 8 = 2𝑥𝑦+ 𝑦+ 5

Bài 2 (4, 0 điểm) Cho đường tròn (𝑂) đường kính 𝐴𝐵, 𝐶là điểm di động trên (𝑂) không trùng 𝐴và 𝐵. Các tiếp tuyến tại 𝐵, 𝐶của (𝑂) cắt nhau tại 𝑁. Giao điểm khác 𝐴của 𝐴𝑁với (𝑂) là 𝐷. Tiếp tuyến của (𝑂) tại 𝐷cắt 𝐶𝑁tại 𝑃. Chứng minh rằng 𝑃di động trên một đường cốđịnh khi điểm 𝐶 di động trên (𝑂) Bài 3 (3, 0 điểm) Cho các sốthực dương 𝑎, 𝑏, 𝑐. Chứng minh :

𝑎 √

7𝑎2 + 𝑏2 + 𝑐2 + 𝑏 √

𝑎2 + 7𝑏2 + 𝑐2 + 𝑐 √

𝑎2 + 𝑏2 + 7𝑐2 ≤1

Bài 4 (3, 0 điểm) Tìm sốnguyên dương 𝑘sao cho phương trình

𝑥2 + 𝑦2 + 𝑥+ 𝑦= 𝑘𝑥𝑦

có nghiệm nguyên dương (𝑥, 𝑦) Bài 5 (3, 0 điểm) Cho trước sốnguyên dương 𝑛≥2. Trong một giải đấu cờvua có 2𝑛vận động viên tham gia, một người đấu với một người khác đúng một ván. Tại một thời điểm trong giải, người ta thấy có 𝑛2 + 1 ván đấu đã diễn ra. Chứng minh rằng khi đó có thểchọn ra ba vận động viên sao cho hai người bất kì trong ba người được chọn đều đã thi đấu với nhau, Bài 6 (3, 0 điểm) Cho hàm số𝑓: N* →N * ∖{1} và thỏa mãn :

𝑓(𝑛) + 𝑓(𝑛+ 1) = 𝑓(𝑛+ 2)𝑓(𝑛+ 3) −168, ∀𝑛∈N*

Tính 𝑓(2014)

------------------------------------ HẾT ------------------------------------

∙Thí sinh không được sửdụng tài liệu và máy tính cầm tay.

∙Giám thịkhông giải thích thì thêm.

c○Diễn đàn Toán học

ThuVienDeThi.com