Đề thi HSG cấp huyện lớp 8 môn Toán năm 2012 2013 phòng GD ĐT Việt Yên Bắc Giang

PHÒNG GD&ĐT VIỆT YÊN

ĐỀ THI CHÍNH THỨC

Đề thi có 01 trang

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN

MÔN THI: TOÁN LỚP 8 Thời gian làm bài 120 phút, không kể thời gian giao đề

Câu 1. (4,0 điểm)

1. Phân tích đa thức sau thành nhân tử: 4 2 2013 2012 2013 x x x    .

2. Rút gọn biểu thức sau:

2 2

2 2 3 2 2 2 1 2 A 1 2 8 8 4 2 x x x x x x x x x                    

.

Câu 2. (4,0 điểm)

1. Giải phương trình sau:

2.

2 2 2 2 2 2 (2 2013) 4( 5 2012) 4(2 2013)( 5 2012) x x x x x x x x          

2. Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn 3 2 3 x 2x 3x 2 y .     Câu 3. (4,0 điểm)

1. Tìm đa thức f(x) biết rằng: f(x) chia cho 2 x  dư 10, f(x) chia cho 2 x dư 24, f(x) chia cho 2 4 x  được thương là 5x  và còn dư.

2. Chứng minh rằng:

2 2 2 ( )( ) ( )( ) ( )( ) a b c b c a c a b a b c b a c a c b          

Câu 4. (6,0 điểm)

Cho hình vuông ABCD, trên cạnh AB lấy điểm E và trên cạnh AD lấy điểm F sao cho AE = AF. Vẽ AH vuông góc với BF (H thuộc BF), AH cắt DC và BC lần lượt tại hai điểm M, N.

1. Chứng minh rằng tứ giác AEMD là hình chữ nhật. 2. Biết diện tích tam giác BCH gấp bốn lần diện tích tam giác AEH. Chứng minh rằng: AC = 2EF.

3. Chứng minh rằng: 2 2 2 1 1 1 = + AD AM AN .

Câu 5. (2,0 điểm)

Cho , , a b c là ba số dương thoả mãn 1 abc . Chứng minh rằng :

3 3 3 1 1 1 3 ( ) ( ) ( ) 2 a b c b c a c a b       .

---------------Hết----------------

Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.

Họ và tên thí sinh: .................................................................Số báo danh:.......................

Giám thị 1 (Họ tên và ký)..............................................................................................................

Giám thị 2 (Họ tên và ký)..............................................................................................................

PHÒNG GD&ĐT VIỆT YÊN

ĐỀ THI CHÍNH THỨC

HƯỚNG DẪN CHẤM BÀI THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN

NGÀY THI ….. /4/2013 MÔN THI: TOÁN LỚP 8 Bản hướng dẫn chấm có 04 trang

Câu 1 Hướng dẫn giải (4.0 điểm)

1 (2.0 điểm)

Ta có 4 2 2013 2012 2013 x x x   

  4 2 2013 2013 2013 x x x x     

0,5

     2 2 1 1 2013 1 x x x x x x        0.5

   2 2 1 2013 x x x x      0.5

Kết luận 4 2 2013 2012 2013 x x x       2 2 1 2013 x x x x      0.5

2 (2.0 điểm)

ĐK: 0

2

x

x

   

0.25

Ta có

2 2

2 2 3 2 2 2 1 2 A 1 2 8 8 4 2 x x x x x x x x x                    

0.25

2 2 2

2 2 2 2 2 2 2( 4) 4(2 ) (2 ) x x x x x x x x x x                  

0.25

2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 ( 1)( 2) ( 2) 4 ( 1)( 2) 2( 4) ( 4)(2 ) 2( 2)( 4) x x x x x x x x x x x x x x x x x                                       

0.5

3 2 2 2

2 2 2 2 4 4 4 1 ( 4)( 1) 1 . 2( 4) 2 ( 4) 2 x x x x x x x x x x x x x x             0.5

Vậy 1 A 2 x

x   với 0

2

x

x

   

. 0.25

Câu 2 (4.0 điểm)

1 (2.0 điểm)

Đặt:

2

2 2 2013

5 2012

a x x

b x x

      

0.25

Phương trình đã cho trở thành:

2 2 2 4 4 ( 2 ) 0 2 0 2 a b ab a b a b a b          

0.5

Khi đó, ta có:

2 2 2 2 2 2013 2( 5 2012) 2 2013 2 10 4024 x x x x x x x x            0.5

2011 11 2011 11 x x      . 0.5

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất 2011

11 x   . 0.25

2 (2.0 điểm)

Ta có

2 3 3 2 3 7 y x 2x 3x 2 2 x 0 x y 4 8                

(1) 0.5

2 3 3 2 9 15 (x 2) y 4x 9x 6 2x 0 y x 2 4 16                  

(2) 0.5

Từ (1) và (2) ta có x < y < x+2 mà x, y nguyên suy ra y = x + 1 0.25