Đề thi Olympic cấp xã Toán 8 năm 2025 - 2026 xã Nghĩa Lộc - Nghệ An

ỦY BAN NHÂN DÂN

XÃ NGHĨA LỘC

Đề thi gồm 1 trang

ĐỀ THI KỲ THI OLYMPIC CẤP XÃ LỚP 8

NĂM HỌC 2025-2026

Môn: Toán

Thời gian làm bài: 120 phút không kể thời gian giao đề

Câu 1. (6,0 điểm) 1. (3,0 điểm) Phân tích đa thức thành nhân tử:

a) 2𝑥𝑥2 + 7𝑥𝑥𝑥𝑥+ 5𝑦𝑦2 −5𝑦𝑦−2𝑥𝑥

b) (𝑥𝑥−1)(𝑥𝑥+ 1)(𝑥𝑥+ 3)(𝑥𝑥+ 5) + 15

c) 𝑥𝑥4 + 4

2. (2,0 điểm ) Cho biểu thức: 2 3 2 2 2 ( ):(2 ) 2 3 5 6 1 x x x x P x x x x x + + + = + + − − − − + +

a) Rút gọn P; b) Tính giá trị của biểu thức P, biết 1 1 x − =

3. (1,0 điểm) Cho x, y, z thỏa mãn 9𝑥𝑥2 + 𝑦𝑦2 + 2𝑧𝑧2 −18𝑥𝑥+ 4𝑧𝑧−6𝑦𝑦+ 20 = 0

Tính giá trị của biểu thức: 𝑄𝑄= (3𝑥𝑥−𝑦𝑦)2028 + (𝑦𝑦−3)2027 + 𝑧𝑧2026

Câu 2. (4,0 điểm) Giải phương trình:

a) 3 2 2 2 1 0 x x x + + + =

b) 13 17 15 16 501 2000 1001 667 x x x x − − − − + = + .

Câu 3 (2 điểm): Một tàu hỏa đi từ ga A đến ga B. Sau đó 1 giờ 40 phút, một tàu hỏa khác đi từ ga B về ga A với vận tốc lớn hơn vận tốc tàu thứ nhất là 5 km/h. Hai tàu gặp nhau tại một ga cách ga B là 300 km. Tính vận tốc của mỗi tàu, biết quãng đường sắt AB dài 645 km.

Câu 4. (6,0 điểm) Cho tam giác ABC nhọn, các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H.

a) Chứng minh ∆𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 đồng dạng với ∆𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴.

b) Chứng minh 𝐴𝐴𝐴𝐴. 𝐴𝐴𝐴𝐴+ 𝐶𝐶𝐶𝐶. 𝐶𝐶𝐶𝐶= 𝐴𝐴𝐶𝐶2.

c) Chứng minh (𝐴𝐴𝐴𝐴+𝐴𝐴𝐴𝐴+𝐵𝐵𝐵𝐵)2

𝐴𝐴𝐷𝐷2+𝐵𝐵𝐸𝐸2+𝐶𝐶𝐹𝐹2 ≥4.

Câu 5. (2 điểm) a) Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên x thì giá trị biểu thức sau luôn là một số chính phương

𝐴𝐴= 𝑥𝑥4 + 6𝑥𝑥3 + 7𝑥𝑥2 −6𝑥𝑥+ 1

b) Cho a,b 0;a b 1 > + = . Tìm GTNN của biểu thức 𝑃𝑃= 1

𝑎𝑎𝑎𝑎+ 1

𝑎𝑎2+𝑏𝑏2 .

------------------------------ Hết ----------------------------- Thí sinh............................................. SBD.....................................

Lưu ý: Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm

Đề chính thức

Câu Đáp án Điểm

Câu 1 (6 điểm)

1. (3 điểm)Phân tích đa thức thành nhân tử

a) 2𝑥𝑥2 + 7𝑥𝑥𝑥𝑥+ 5𝑦𝑦2 −5𝑦𝑦−2𝑥𝑥

b) (𝑥𝑥−1)(𝑥𝑥+ 1)(𝑥𝑥+ 3)(𝑥𝑥+ 5) + 15

c) 𝑥𝑥4 + 4

2. (2 điểm)Cho biểu thức: 2 3 2 2 2 ( ):(2 ) 2 3 5 6 1 x x x x P x x x x x + + + = + + − − − − + +

a, Rút gọn P; b, Tính giá trị của biểu thức P, biết 1 1 x − = ;

3. (1 điểm) Cho x, y, z thỏa mãn 9𝑥𝑥2 + 𝑦𝑦2 + 2𝑧𝑧2 −18𝑥𝑥+ 4𝑧𝑧−6𝑦𝑦+ 20 = 0

Tính giá trị của biểu thức

𝑄𝑄= (3𝑥𝑥−𝑦𝑦)2028 + (𝑦𝑦−3)2027 + 𝑧𝑧2026

1

(3 điểm)

a) 2𝑥𝑥2 + 7𝑥𝑥𝑥𝑥+ 5𝑦𝑦2 −5𝑦𝑦−2𝑥𝑥

= 2𝑥𝑥2 + 2𝑥𝑥𝑥𝑥+ 5𝑥𝑥𝑥𝑥+ 5𝑦𝑦2 −5𝑦𝑦−2𝑥𝑥

= 2𝑥𝑥(𝑥𝑥+ 𝑦𝑦) + 5𝑦𝑦(𝑥𝑥+ 𝑦𝑦) −(5𝑦𝑦+ 2𝑥𝑥)

= (2𝑥𝑥+ 5𝑦𝑦)(𝑥𝑥+ 𝑦𝑦) −(2𝑥𝑥+ 5𝑦𝑦)

= (2𝑥𝑥+ 5𝑦𝑦)(𝑥𝑥+ 𝑦𝑦−1)

0.25

0.25

0.25

0.25

b) (𝑥𝑥−1)(𝑥𝑥+ 1)(𝑥𝑥+ 3)(𝑥𝑥+ 5) + 15

= (x2 + 4x – 5)(x2 + 4x + 3) +15

= [(x2 + 4x -1) – 4][(x2 + 4x – 1) + 4] + 15

= (x2 + 4x – 1)2 – 16 + 15

= (x2 + 4x – 1)2 – 1

= (x2 + 4x – 2)(x2 + 4x)

= x(x + 4)(x2 + 4x – 2)

0.25

0.25

0.25

0.25

c) 𝑥𝑥4 + 4

=x4 +4x2+4 - 4x2

=(x2+2)2 –(2x)2

0.5

ĐỀ THI KỲ THI OLYMPIC CẤP XÃ LỚP 8

NĂM HỌC 2025 – 2026

Môn thi: Toán 8

Thời gian làm bài: 120 phút

=( x2+2-2x) .( x2+2+2x) 0.5

2) Cho biểu thức: 2 3 2 2 2 ( ):(2 ) 2 3 5 6 1 x x x x P x x x x x + + + = + + − − − − + +

a, Rút gọn P; b, Tính giá trị của biểu thức P, biết 1 1 x − = ;

a, ĐKXĐ:

2; 3; 1

( 3)( 3) ( 2)( 2) ( 2) 2 : ( 2)( 3) 1 ( 3)( 1) 1 ( 3)( 2).2 2( 2)

x x x

x x x x x P x x x x x x x x x

≠ ≠ ≠−

+ − − + − + + = − − + − + + = = − − −

0.25

0.25

0.25

0.25

b, Với

2 ( ) 1 1 0 ( )

1 4

x KTM x x TM

P

=  − = ⇒=  − ⇒ =

0.25

0.25

0.5

3

(1,0 điểm)

Ta có: 9𝑥𝑥2 + 𝑦𝑦2 + 2𝑧𝑧2 −18𝑥𝑥+ 4𝑧𝑧−6𝑦𝑦+ 20 = 0

(3𝑥𝑥−3)2 + (𝑦𝑦−3)2 + 2(𝑧𝑧+ 1)2 = 0

0.25

Vì (3𝑥𝑥−3)2 ≥0; (𝑦𝑦−3)2 ≥0; (𝑧𝑧+ 1)2 ≥0 nên

(3𝑥𝑥−3)2 + (𝑦𝑦−3)2 + 2(𝑧𝑧+ 1)2 = 0 khi

൝ 3𝑥𝑥−3 = 0

𝑦𝑦−3 = 0 𝑧𝑧+ 1 = 0 hay ൝ 𝑥𝑥= 1 𝑦𝑦= 3 𝑧𝑧= −1

0.25

0.25

Ta có 𝑄𝑄= (3𝑥𝑥−𝑦𝑦)2028 + (𝑦𝑦−3)2027 + 𝑧𝑧2026

= (3.1 −3)2028 + (3 −3)2027 + (−1)2026

= 1

0.25

Câu 2. (4,0 điểm) Giải phương trình:

a) 3 2 2 2 1 0 x x x + + + =

b) 13 17 15 16 501 2000 1001 667 x x x x − − − − + = + .

a a) 3 2 2 2 1 0 x x x + + + =

0.25