Đề học sinh giỏi huyện lớp 8 môn Toán năm 2015 2016 phòng GD ĐT Nho Quan Ninh Bình

UBND HUYỆN NHO QUAN PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG HỌC SINH GIỎI Năm học 2015 – 2016 MÔN: TOÁN 8 (Thời gian làm bài 120 phút) Đề thi gồm 05 câu, trong 01 trang

Câu 1 (4,0 điểm).

1. Cho biểu thức A = 2 2 1 5 6 2 3 6 1 x x x x x x x                  

a) Rút gọn biểu thức A b) Tìm x, để A < 0 c) Tìm các số tự nhiên x, thỏa mãn: A2 – A = 6

Câu 2 (5,0 điểm) 1. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

a) x3 – 4x b) x3 – 5x2 + 8x – 4

2. Giải các phương trình sau: a) 2 3 9 0 x x    

b) (x2 - 5x +1)2 – 2x2 + 10x = 1

Câu 3 (3,0 điểm).

1. Cho các số tự nhiên a,b,c thỏa mãn: a2 + b2 + c2 = ab + bc + ca và a + b + c = 3. Tính M = a2016 + 2015b2015 + 2020c

2. Cho x > y > 0. Chứng minh:

2 2

2 2 x y x y x y x y     

Câu 4 (6,0 điểm). Cho tam giác ABC vuông tại A (AC > AB), đường cao AH (HBC). Trên tia đối của tia HB lấy điểm D sao cho HD = HA. Qua D kẻ đường thẳng vuông góc với BC cắt AC tại E. 1.Chứng minh CD.CB = CA.CE 2. Tính số đo góc BEC. 3. Gọi M là trung điểm của đoạn BE. Tia AM cắt BC tại G.

Chứng minh: GB HD BC AH HC  

Câu 5 (2,0 điểm).

1. Cho các số a, b,c thỏa mãn a + b + c = 3 2 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

P = a2 + b2 + c2

2. Chứng minh biểu thức: A = 4a(a + b)(a + b + c)(a + c) + b2c2  0 với mọi a, b, c.

---------------Hết---------------

Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.

ĐỀ CHÍNH THỨC

UBND HUYỆN NHO QUAN PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

HƯỚNG DẪN CHẤM KSCL HỌC SINH GIỎI Môn: Toán 8 Năm học 2015 - 2016 Câu Đáp án Điểm

Câu 1 (4 điểm)

a. (1,25 điểm) ÑKXĐ: x  1; x  -2; x  3 0,25

A = 2 2 1 5 6 2 3 6 1 x x x x x x x                  

2 2 1 5 6 . 2 3 ( 2)( 3) 1 x x x x x x x x                  0,25

2( 3) ( 2) (5 ) ( 2)( 3) . ( 2)( 3) 1 x x x x x x x x            0,25

2 6 2 5 1 x x x x       0,25

3 1 x

   0,25

b. (1,0 điểm) A < 0

 3 1 x

 < 0 0,25

x – 1 > 0 (vì -3 < 0) 0,25 x >1 0,25 Đối chiếu với điều kiện ta có x > 1 và x 3 thì thỏa mãn đầu bài 0,25 c. (1,75 điểm) Ta có: A2 – A = 6A2 – A – 6 = 0 0,25

Đặt A = m (ĐK: m  0). Ta có m2 – m – 6 = 0 0,25

(m + 2) (m – 3) = 0

 2( )

3

m loai

m

     0,5

Với m = 3 ta có A = 3

 3 3 1 x     3 3 1 x   0,25

 1 x  = 1  1 1 1 1 x x      2 0 x x     0,25

Mà x là số tự nhiên và x 1 ; x  -2; x  3 nên x = 2; x = 0 thỏa mãn. Vậy x   2;0  thì thỏa mãn đầu bài. 0,25

`

1. (2 điểm) a) x3 – 4x = x(x2 – 4) 0,5 = x(x – 2)(x+2) 0,5 b) x3 – 5x2 + 8x – 4 = x3 – 4x2 + 4x – x2 + 4x – 4 0,5 = x(x2 – 4x + 4) – (x2 – 4x + 4) 0,25 = (x – 1)(x – 2)2 0,25

Câu 2 (5 điểm)

2. (3 điểm) a) 2 3 9 0 x x    

 2 9 3 x x    0,25

ĐK: 9 – 3x  0 x  3 0,25 2 9 3 2 3 9 x x x x         0,25

 4 11 2 7 x x      0,25



11 4 7 ( ) 2

x

x loai

    

0,25

Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = 11 4 0,25

b) (x2 – 5x +1)2 – 2x2 + 10x =1  (x2 – 5x +1)2 – 2(x2 -5x + 1) + 1 = 0 0,25  (x2 – 5x +1 – 1)2 = 0 0,25  (x2 – 5x)2 = 0  x2 – 5x = 0 0,25  x(x – 5) = 0 0,25

 0 5 0 x x     

 0 5 x x     0,25

Vậy phương trình có nghiệm x1 = 0; x2 = 5 0,25 Câu 3 (3 điểm)

1. (1,5 điểm) Ta có: a2 + b2 + c2 = ab + bc + ca 2(a2 + b2 + c2) – 2(ab + bc + ca) = 0 0,25 (a – b)2 + (b – c)2 + (c – a)2 = 0 (1) 0,25 Mà (a – b)2  0 với mọi a,b. (b – c)2  0 với mọi b,c. (c – a)2  0 với mọi a,c.

0,25

Nên (1) 

2

2

2

( ) 0

( ) 0

( ) 0

a b

b c

c a

          

 a = b = c

0,25 Lại có a + b + c = 3  a = b = c = 1 0,25  M = a2016+ 2015b2015+ 2020c = 1 + 2015.1 +2020.1 = 4036

0,25

2. (1,5điểm) Với x > 0; y > 0. Ta có x + y  0 0,25 Áp dụng tính chất cơ bản của phân thức ta có:

2 ( )( ) ( ) x y x y x y x y x y       0,25

2 2

2 2 2 x y x xy y     (1) 0,25