Đề thi HSG lớp 8 môn Toán cấp huyện năm 2016 2017 phòng GD ĐT Hậu Lộc Thanh Hóa

PHÒNG GD&ĐT HUYỆN

HẬU LỘC

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN

NĂM HỌC 2016-2017

Môn: Toán - Lớp 8 Thời gian làm bài: 150 phút (Không kể thời gian giao đề)

Câu 1: (4 điểm) Cho biểu thức: A = 2

2 9 3 2 4 5 6 2 3 x x x x x x x         

a) Rút gọn biểu thức A. b) Tìm x để A nhận giá trị là một số nguyên. Câu 2: (4 điểm)

a) Giải phương trình:

2 2 5 1 4 1 2 2 1 1 x x x x x x        

b) Giải phương trình: x6 – 7x3 – 8 = 0 Câu 3:( 3 điểm)

a) Phân tích đa thức sau thành nhân tử : x20 + x +1 b) Tìm số nguyên x thỏa mãn cả hai bất phương trình:

3 2 0,8 5 2 x x    và 2 5 3 1 6 4 x x    

Câu 4. (3 điểm)

a) Tìm các cặp số nguyên (x, y) thỏa mãn: 2 2 3 2 0 y xy x    

b) Cho x, y thoả mãn 1 xy . Chứng minh rằng:

2 2 1 1 2 1 1 1 x y x y     

Câu 5: (6 điểm)

Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, các đường cao BD, CE cắt nhau tại H. a) Chứng minh ABD ACE. b) Chứng minh BH.HD = CH.HE. c) Nối D với E, cho biết BC = a, AB = AC = b. Tính độ dài đoạn thẳng DE theo a.

--------------------------------------Hết--------------------------------------------

SBD…………………………….Họ tên thí sinh:……………………………. Chữ ký giám thị:……………………………………………………………..

HD CHẤM ĐỀ THI CHỌN HSG CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2016-2017

MÔN TOÁN 8: Thời gian 150 phút

Câu Nội dung Điểm Câu 1 (4.0 điểm)

Cho biểu thức: A = 2

2 9 3 2 4 5 6 2 3 x x x x x x x         

a) ĐKXĐ: x 2 , x  3.

2 9 3 2 4 ( 3)( 2) 2 3 x x x A x x x x          

2 2 8 ( 3)( 2) x x x x      = ( 4)( 2) ( 3)( 2) x x x x    

= 4 3 x x

 

b/ Ta có: A = 4 7 1 3 3 x x x    

§Ó A  Z th× x - 3 ¦(7) =   7; 1; 1; 7  

=> x    4; 2; 4; 10 

Kết hợp với ĐKXĐ ta được x    4; 4; 10 

0,5

0,5

1,0

0,5

0,25 0,25

0,5 0,5 Câu 2 (4.0 điểm)

a/

2 2 5 1 4 1 2 2 1 1 x x x x x x        

ĐKXĐ: 2 1 ;1     x x

0 1 1 2

1 5 1 1

1 4 2 2

  

    

   x

x x x

x x

0 1 2

2 3 1

2 3 2 2

 

   

   x

x x x

x x

  2 1 1 3 2 0 1 2 1 x x x x             

  

   

2 3 2 3 2 0

1 2 3 2 0 (1)

x x x

x x x

    

    

Giải phương trình (1) x =1 ; x = 2 ; x = - 2/ 3 (thỏa mãn ĐKXĐ)

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là S =

  3

2 ;2;1 .

0,25

0,25

0,25

0,25

0,25

0,5

0,25

b) Ta có x6 – 7x3 – 8 = 0

(x3 + 1)(x3 – 8) = 0  (x + 1)(x2 – x + 1)(x – 2)(x2 + 2x + 4) = 0 (*)

Do x2 – x + 1 = (x – 1

2 )2 + 3

4 > 0

và x2 + 2x + 4 = (x + 1)2 + 3 > 0 với mọi x nên (*)  (x + 1)(x – 2) = 0

1

2

x

x

   

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là S = {- 1; 2}

0,25 0,25 0,25

0,25

0,5

0,25 0,25

Câu 3 (3.0 điểm)

a) x20 + x +1 = x20-x2+x2+x+1 = x2(x18-1) +(x2+x+1)

=x2(x9+1)(x9-1)+(x2+x+1) =x2(x9+1)(x3-1)(x6+x3+1)+(x2+x+1) =x2(x9+1)(x-1)(x2+x+1)(x6+x3+1)+(x2+x+1) =(x2+x+1)[x2(x9+1)(x-1)(x6+x3+1)+1]

b) Giải bất phương trình (1): 3 2 0,8 5 2 x x   

3 2 8 5 2 10 x x    

4 8 10 10 x   

12 0 12 x x     

Giải bất phương trình (2): 2 5 3 1 6 4 x x    

3 2 5 1 4 6 x x     

1 13 1 0 12 12 x x      

13 x   Vì x là nghiệm chung của hai bất phương trình (1) và (2) nên ta có x = 12

0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25

0,25

0,25

0,25

0,25

0,5

Câu 4 ( 3,0 điểm)

a) Ta có:

2 2 2 2 2 3 2 0 2 3 2 y xy x x xy y x x           (*) 2 ( ) ( 1)( 2) x y x x      VT của (*) là số chính phương; VP của (*) là tích của 2 số nguyên liên tiếp nên phải có 1 số bằng 0

1 0 1 1

2 0 2 2

x x y

x x y

              

Vậy có 2 cặp số nguyên ( ; ) ( 1;1) x y  hoặc ( ; ) ( 2;2) x y 

0,25 0,25

0,25

0,25