Đề giao lưu HSG lớp 8 môn Toán năm 2016 2017 phòng GD ĐT Tam Dương Vĩnh Phúc

PHÒNG GD&ĐT TAM DƯƠNG

ĐỀ THI GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI LỚP 8

NĂM HỌC 2016 - 2017

MÔN: TOÁN 8 Thời gian làm bài: 120 phút, không kể thời gian giao đề

Đề thi gồm 01 trang Chú ý: Thí sinh không được sử dụng máy tính cầm tay! Câu 1. (2,0 điểm)

a) Tính giá trị biểu thức x y P x y    . Biết   2 2 x 2y xy x y 0, y 0      .

b) Tìm x, y nguyên dương thoả mãn: x2 – y2 + 2x – 4y – 10 = 0. Câu 2. (2,0 điểm)

a) Tìm số dư trong phép chia của đa thức      x 2 x 4 x 6 x 8 2017      cho đa thức

2 x 10x 21   . b) Cho A = n6 + 10n4 + n3 + 98n – 6n5 – 26 và B = 1 + n3 – n. Chứng minh với mọi n Z  thì thương của phép chia A cho B là bội số của 6. Câu 3. (2,0 điểm)

a) Cho a và b thỏa mãn: a + b = 1. Tính giá trị của biểu thức B = a3 + b3 + 3ab. b) Cho các số thực dương , , x y z thỏa mãn 3 x y z   .

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 2 2 1 1 1 P x x y y z z       .

Câu 4. (3,0 điểm) Cho tam giác ABC, đường trung tuyến AM. Qua điểm D thuộc cạnh BC, vẽ đường thẳng song song với AM cắt đường thẳng AB và AC lần lượt tại E và F.

a) Chứng minh DE + DF = 2AM. b) Đường thẳng qua A song song với BC cắt EF tại N. Chứng minh N là trung điểm của EF. c) Kí hiệu SX là diện tích của hình X. Chứng minh S2FDC  16 SAMC.SFNA. Câu 5. (1,0 điểm) Trong một đề thi có 3 bài toán A, B, C. Có 25 học sinh mỗi người đều đã giải được ít nhất một trong 3 bài đó. Biết rằng:

- Trong số thí sinh không giải được bài A thì số thí sinh đã giải được bài B nhiều gấp hai lần số thí sinh đã giải được bài C.

- Số học sinh chỉ giải được bài A nhiều hơn số thí sinh giải được bài A và thêm bài khác là một người.

- Số thí sinh chỉ giải được bài A bằng số thí sinh chỉ giải được bài B cộng với số thí sinh chỉ giải được bài C.

Hỏi có bao nhiêu thí sinh chỉ giải được bài B?

------------- Hết ------------- Giám thị coi thi không giải thích gì thêm! Họ tên thí sinh...................................................................Số báo danh.................Phòng thi..................

ĐỀ CHÍNH THỨC

PHÒNG GD&ĐT TAM DƯƠNG

HƯỚNG DẪN CHẤM THI GIAO LƯU HSG LỚP 8 CẤP HUYỆN

NĂM HỌC: 2016 -2017

MÔN: TOÁN 8

Câu Nội dung Điểm

Câu1 2 điểm

a)x2 – 2y2 = xy  x2 – xy – 2y2 = 0

 (x + y)(x – 2y) = 0

Vì x + y ≠ 0 nên x – 2y = 0  x = 2y .

Khi đó P = 2 1 2 3 3 y y y y y y    

0,25

0,25

0,5

b) Ta có :

x2 - y2 + 2x - 4y - 10 = 0 (x2+2x+1) - (y2+4y+4) – 7 = 0

(x+1)2 - (y+2)2 = 7 (x – y - 1)(x + y + 3) = 7

Vì x, y nguyên dương

nên x + y + 3 > x – y – 1 > 0  x + y + 3 = 7 và x – y – 1 = 1

x = 3; y = 1

Phương trình có nghiệm dương duy nhất (x , y) = (3 ; 1)

0,25

0,5

0,25

Câu 2 2 điểm

a) Ta có

        2 2 ( ) 2 4 6 8 2017 10 16 10 24 2017 P x x x x x x x x x            

Đặt 2 10 21 ( 3; 7) t x x t t      , biểu thức P(x) được viết lại:

  

2 ( ) 5 3 2017 2 2002 P x t t t t       

Do đó khi chia 2 2 2000 t t   cho t ta có số dư là 2002 Vậy số dư phải tìm là 2002.

0,25

0,5

0,25

Thực hiện phép chia, ta được: Thương của A chia cho B là n3 – 6n2 + 11n – 6 Ta có:

3 2 3 2

2 6 11 6 12 6 6

( 1) .( 1) 6.(2 1)

n n n n n n n

n n n n n

       

     

Vì (n-1).n.(n+1) là tích của 3 số nguyên liên tiếp nên tích đó vừa chia hết cho 2, vừa chia hết cho 3 suy ra tích đó chia hết cho 6 Mặt khác 6(2n-n2-1) chia hết cho 6 => Thương của phép chia A cho B là bội số của 6

0,25

0,25

0,25 0,25