Đề thi chọn học sinh giỏi lớp 8 cấp trường năm học 2015 - 2016 đề thi môn Toán 8

1

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 8 CẤP TRƯỜNG

NĂM HỌC: 2015-2016

Đề thi môn: Toán 8 Thời gian: 120 phút (không kể thời gian phát đề)

________________________

Câu 1: ( 5 điểm) Cho a là một số nguyên. Chứng minh rằng biểu thức: M = (a + 1)(a + 2)(a + 3)(a +4) + 1 là bình phương của một số nguyên Câu 2: ( 5 điểm) Cho đa thức: B = ( a2 + b2 – c2 ) – 4a2b2.

a) Phân tích B thành nhân tử b) Chứng minh rằng nếu a, b, c là số đo độ dài các cạnh của một tam giác thì B <0 Câu 3: ( 5 điểm) Cho phân thức:

P = 8 2 2

6 3 2 4 3 2 4 2 5

 

    

x x

x x x x x

a) Rút gọn phân thức b) Tìm giá trị của x để giá trị phân thức bằng 0 Câu 4: ( 5 điểm) Cho hình vuông ABCD, điểm E thuộc cạnh CD. Tia phân giác của góc ABE cắt AD ở K. Chứng minh rằng AK + CE = BE

HẾT

ThuVienDeThi.com

2

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 8 CẤP TRƯỜNG

NĂM HỌC: 2015-2016

Đề thi môn: Toán 8 Thời gian: 120 phút (không kể thời gian phát đề)

ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM

Câu 1: ( 5 điểm) Ta có: M = (a + 1)(a + 2)(a + 3)(a +4) + 1 = (a2 + 5a + 4)(a2 + 5a + 6) + 1 (1đ) Đặt a2 + 5a + 5 = t (1đ) Do đó M = ( t – 1)( t + 1) +1 = t2 – 1 + 1 = t2 = (a2 + 5a + 5)2 (1đ) Vì a Z nên a2 + 5a + 5 Z (1đ)   Vậy M là bình phương của một số nguyên (1đ) Câu 2: ( 5 điểm)

a) Phân tích B thành nhân tử Ta có: B = ( a2 + b2 – c2 )2 – 4a2b2 = = ( a2 + b2 – c2 )2 – (2ab)2 = (1đ) = (a2 + b2 – c2 + 2ab)( a2 + b2 – c2 - 2ab) = (1đ) = ( a + b + c)(a + b – c)(a – b + c)(a – b – c) (1đ)

b) Chứng minh rằng nếu a, b, c là số đo độ dài các cạnh của một tam giác thì B <0 Vì a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác nên a + b + c > 0 ; a + b – c > 0; a – b + c > 0 và a – b – c < 0 (1đ) Do đó : B < 0 (1đ) Câu 3: ( 5 điểm) a) Rút gọn phân thức ĐK: x -4 và x 2 (1đ)   Ta có:

P = 8 2 2

6 3 2 4 3 2 4 2 5

 

    

x x

x x x x x

= (1đ)     

    

) 2 )( 4 (

) 2 ( 3 2 2 2 ) 2 ( 4

x x

x x x x x

= = (1đ) ) 2 )( 4 (

) 3 2 2 4 )( 2 (

 

  

x x

x x x

) 2 )( 4 (

)1 2 )( 3 2 )( 2 (

 

  

x x

x x x

) 4 (

)1 2 )( 3 2 (



 

x

x x

b)Tìm giá trị của x để giá trị phân thức bằng 0

P = 0 khi = 0 (0.5đ) ) 4 (

)1 2 )( 3 2 (



 

x

x x

Vì x + 4 0 nên (x2 + 3)(x2 – 1) = 0 mà x2 + 3 > 0 x (1đ)   Do đó để P = 0 thì x2 – 1 = 0 x =1 hoặc x = -1 ( TMĐK) (0.5đ)  Câu 4: ( 5 điểm) ( Vẽ hình đúng được 0.5đ)

ThuVienDeThi.com

3

Chứng minh rằng AK + CE = BE Trên hình vẽ ta lấy điểm M trên tia đối của tia CD sao cho CM = AK. (0.5đ) Ta có: AK + CE = CM + CE = EM (0.5đ) Vì BAK = BCM ( c-g-c) (0.5đ)   K1 = M, B1 = B4 (0.5đ)  Ta lại có B1 = B2 nên B2 = B4 (0.5đ)

EBM = B3 + B4 = B3 + B2 = KBC = K1 = M (1đ) 

EBM cân BE = ME (0.5đ)   Do đó BE = MC + CE = AK + CE (0.5đ)

ThuVienDeThi.com