Đề thi giao lưu học sinh giỏi lần V năm học 2015 - 2016 môn Toán lớp 8

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI LẦN V NGA SƠN Năm học 2015-2016 Đề chính thức

Môn: Toán - Lớp 8 (Thời gian làm bài 150 phút, không kể phát đề)

Câu 1: (3,0 điểm )

a) Phân tích đa thức thành nhân tử. 2 2 2 ( ) ( ) ( ) a b c b c a c a b     

b) Cho các số nguyên thoả mãn . , , a b c 3 3 3 ( ) ( ) ( ) 210 a b b c c a       Tính giá trị của biểu thức . A a b b c c a      

Bài 1: (4,0 điểm) Cho biểu thức:

2

2

x 2 1 10 x A : x 2 x 4 2 x x 2 x 2                     

a. Rút gọn biểu thức A. b. Tính giá trị của A , Biết x = . 1 2 c. Tìm giá trị của x để A < 0. d. Tìm các giá trị nguyên của x để A có giá trị nguyên.

Câu 2 (3,0 điểm).

a) Giải phương trình: x3 – 3x – 2 = 0. b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = x2 + 5y2 + 2xy – 4x – 8y + 2015. Câu 3 (3,0 điểm): Đa thức P(x) bậc 4 có hệ số bậc cao nhất là 1. Biết P(1)=0 ; P(3)=0 ; P(5)= 0.

Hãy tính giá trị của biểu thức: Q= P(-2)+7P(6) Bài 4 (6 điểm): Cho tam giác ABC nhọn, các đường cao AA’, BB’, CC’, H là trực tâm.

a) Tính tổng ' CC

' HC ' BB

' HB ' AA

' HA  

b) Gọi AI là phân giác của tam giác ABC; IM, IN thứ tự là phân giác của góc AIC và góc AIB. Chứng minh rằng: AN.BI.CM = BN.IC.AM.

c) Chứng minh rằng: . 4 ' CC ' BB ' AA

) CA BC AB (

2 2 2

2

  

 

Câu 5 : (1 điểm)

Tìm tất cả các tam giác vuông có số đo các cạnh là các số nguyên dương

và số đo diện tích bằng số đo chu vi .

ThuVienDeThi.com

ĐÁP ÁN Câu Nội dung Điểm a) Ta có

2 2 2 2 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) a b c b c a c a b a b c b c a c b c c a           

2 2 2 2 ( )( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ) b c a c c a b c b c a c a c c a b c b c               . ( )( )( ) ( )( )( ) b c a c a c b c b c a c a b         

0,5

0,5 0,5 1 b) Đặt ; ; a b x   b c y   c a z    0 x y z    ( ) z x y    Ta có: 3 3 3 3 3 3 210 ( ) 210 3 ( ) 210 x y z x y x y xy x y            . Do là số nguyên có tổng bằng 0 và 70 xyz   , , x y z 70 ( 2).( 5).7 xyz    nên

  , , 2; 5;7 x y z    14. A a b b c c a       

0,5

0,5

0,5

2a

Biểu thức:

2

2

x 2 1 10 x A : x 2 x 4 2 x x 2 x 2                     

Rút gọn được kết qủa: 1 A x 2   

1,0

2b

hoặc 1 x 2  1 x 2   1 x 2  

A= hoặc A=  3 2

5 2

0,5

1,0

2c A < 0 x - 2 >0 x >2   0,5

2d A Z x-2 Ư(-1) x-2 { -1; 1} x {1; 3}   Z 2 x

1          1,0

3a. x3 - 3x - 2 = 0 (x3 + 1) – 3(x + 1) = 0  (x + 1)(x2 – x – 2) = 0 (x - 2)(x + 1)2 = 0   x = 2; x = - 1 

0,75

0,75

3b.

P = x2 + 5y2 + 2xy – 4x – 8y + 2015 P = (x2 + y2 + 2xy) – 4(x + y) + 4 + 4y2 – 4y + 1 + 2010 P = (x + y – 2)2 + (2y – 1)2 + 2010 2010 

=> Giá trị nhỏ nhất của P = 2010 khi 3 1 ; 2 2 x y  

0,5

0,5

0,5

4

Ta có: P(x) (x-1), (x-3), (x-5)  Nên P(x) có dạng: P(x) = (x-1)(x-3)(x-5) (x+a) Khi đó: P(-2) +7P(6) = (-3).(-5).(-7).(-2 +a) +7.5.3.1.(6+a) = -105.(-2+a) +105.(6+a) = 105.( 2 –a +6 +a) = 840

1,0

2,0

ThuVienDeThi.com

 Bài 5 (6 điểm):

Vẽ hình đúng (0,5điểm)

a) ; (0,5điểm) ' AA

' HA

BC '. AA . 2 1

BC '. HA . 2 1

S S

ABC

HBC  

Tương tự: ; (0,5điểm) ' CC

' HC S S

ABC

HAB 

' BB

' HB S S

ABC

HAC 

(0,5điểm) 1 S S S S S S ' CC

' HC ' BB

' HB ' AA

' HA

ABC

HAC

ABC

HAB

ABC

HBC      

b) Áp dụng tính chất phân giác vào các tam giác ABC, ABI, AIC:

(0,5điểm ) AI IC MA CM ; BI AI NB AN ; AC AB IC BI   

(0,5điểm ) AM . IC . BN CM . AN . BI

1 BI IC . AC AB AI IC . BI AI . AC AB MA CM . NB AN . IC BI

 

  

c)Vẽ Cx CC’. Gọi D là điểm đối xứng của A qua Cx (0,5điểm)  -Chứng minh được góc BAD vuông, CD = AC, AD = 2CC’ (0,5điểm) - Xét 3 điểm B, C, D ta có: BD BC + CD (0,5điểm)  - BAD vuông tại A nên: AB2+AD2 = BD2  AB2 + AD2 (BC+CD)2 (0,5điểm)   AB2 + 4CC’2 (BC+AC)2  4CC’2 (BC+AC)2 – AB2  Tương tự: 4AA’2 (AB+AC)2 – BC2  4BB’2 (AB+BC)2 – AC2 (0,5điểm)  -Chứng minh được : 4(AA’2 + BB’2 + CC’2) (AB+BC+AC)2 

(0,5điểm) 4 ' CC ' BB ' AA

) CA BC AB (

2 2 2

2

  

 …