Đề thi HSG lớp 8 môn Toán năm 2020 2021 trường THCS Trung Nguyên Vĩnh Phúc

PHÒNG GD&ĐT YÊN LẠC TRƯỜNG THCS TRUNG NGUYÊN

ĐỀ KSCL ĐT HSG CẤP HUYỆN

MÔN: TOÁN 8 NĂM HỌC 2020-2021 (Thời gian làm bài: 120 phút không kể thời gian giao đề)

Ngày khảo sát 30/3/2021

Thí sinh không được sử dụng máy tính cầm tay.

Câu 1. (3,0 điểm)

a) Cho biểu thức

2 2

2 2 3 2 2 2 1 2 A 1 2 8 8 4 2 x x x x x x x x x                    

. Tìm giá trị nguyên của x

để A có giá trị nguyên.

b) Cho x, y, z đôi một khác nhau thỏa mãn x + y + z = 0. Tính giá trị của biểu thức:

B =

2 2 2

2 2 2 2 ( 2 )( 2 )( 2 ) (2 2 2 3 ) xy z yz x zx y xy yz zx xyz       .

Câu 2. (2,5 điểm)

a) Giải phương trình nghiệm nguyên: 2 2014 2015 2016 0 x xy x y      .

b) Cho các số nguyên a, b, c thỏa mãn 2a + b, 2b + c, 2c + a đều là các số chính phương. Biết rằng một trong ba số chính phương trên chia hết cho 3.

Chứng minh rằng:       3 3 3 P a b b c c a       chia hết cho 81.

Câu 3. (1,0 điểm) Cho ba số a, b, c thỏa mãn a 4 3  , b 4 3  , c 4 3  và a + b + c = 6.

Chứng minh rằng: 2 2 2 a b c 6 + + a +1 b +1 c +1 5  .

Câu 4. (2,5 điểm) Cho O là trung điểm của đoạn thẳng AB. Trên cùng một nửa mặt phẳng có bờ là AB vẽ tia Ax, By cùng vuông góc với AB. Trên tia Ax lấy điểm C (khác A), qua O kẻ đường thẳng vuông góc với OC cắt tia By tại D.

a) Chứng minh AB CA = 4BD AB .

b) Kẻ OM vuông góc với CD tại M, từ M kẻ MH vuông góc với AB tại H. Chứng minh BC đi qua trung điểm của MH.

c) Tìm vị trí điểm C trên tia Ax để diện tích tứ giác ABDC nhỏ nhất.

Câu 5. (1,0 điểm) Năm vận động viên mang số 1; 2; 3; 4 và 5 được chia bằng mọi cách thành hai nhóm. Chứng tỏ rằng ở một trong hai nhóm ta luôn có hai vận động viên mà hiệu các số họ mang trùng với một trong các số mà người của nhóm đó mang.

–––––– Hết –––––– Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.

PHÒNG GD&ĐT YÊN LẠC TRƯỜNG THCS TRUNG NGUYÊN

HDC ĐỀ KSCL ĐT HSG CẤP HUYỆN

MÔN: TOÁN 8 NĂM HỌC 2020-2021

Ngày khảo sát 30/3/2021 Hướng dẫn chung : - Hướng dẫn chấm chỉ trình bày những ý cơ bản, nếu học sinh có cách giải khác mà đúng thì Giám khảo vẫn cho điểm nhưng không vượt quá thang điểm của mỗi ý đó. - Câu 4 hình học, học sinh không vẽ hình hoặc vẽ hình sai thì không chấm điểm. - Tổng điểm toàn bài bằng tổng điểm của các câu không làm tròn. Đáp án và thang điểm.

Câu Phần Nội dung Thang

điểm

1

a.

ĐK: 0

2

x

x

   

0,25

Ta có

2 2

2 2 3 2 2 2 1 2 A 1 2 8 8 4 2 x x x x x x x x x                    

2 2 2

2 2 2 2 2 2 2( 4) 4(2 ) (2 ) x x x x x x x x x x                  

0,25

2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 ( 1)( 2) ( 2) 4 ( 1)( 2) 2( 4) ( 4)(2 ) 2( 2)( 4) x x x x x x x x x x x x x x x x x                                       

0,25

3 2 2 2

2 2 2 2 4 4 4 1 ( 4)( 1) 1 . 2( 4) 2 ( 4) 2 x x x x x x x x x x x x x x             0,5

Nhận xét : A nguyên khi x+1 chia hết cho 2x => 2x +2 chia hết cho 2x => 2 chia hết cho 2x => 2x là ước của 2

TH1: 2x = 1 => x = 1

2 (loại).

TH2: 2x = -1 => x =- 1

2 (loại).

TH3: 2x = 2 => x = 1 (thỏa mãn). TH4: 2x = -2 => x =-1 (thỏa mãn). KL: Vậy x = 1 thì A có giá trị nguyên .

0,25

0,5

b.

Ta có: x + y + z = 0 => x + y = -z. Do đó: 2 2 xy z  = 2 ( ) xy z z x y    = (z - x)(z - y) Tương tự : 2 2 yz x  =(x - y)(x - z) 2 2 zx y  =(y - z)(y - x) => Tử số của B là : - 2 2 2 ( ) ( ) ( ) x y y z z x   

0,5

Hs cm được : 2 2 2 2 2 2 3 xy yz zx xyz    =(x-y)(y-z)(z-x)

=> mẫu số của B là :  

2 ( )( )( ) x y y z z x   

0,25

Vậy B = -1. 0,25