Chuyên đề Kỹ thuật chọn điểm rơi trong bài toán cực trị

Trang 1

Chuyên Đề: KỸ THUẬT CHỌN ĐIỂM RƠI TRONG BÀI TOÁN CỰC TRỊ

I. BÀI TOÁN MỞ ĐẦU

Bài toán 1. Cho , tìm GTNN của , 0

1

a b

a b

    

2 2 1 1 2 P ab a b    Giải

Ta có: 2 2 2 2 2 1 1 4 4 4 2 2 ( ) ab a b a ab b a b        

Dấu “=” xảy ra

1

1 2 Min 4 khi 1 1 2 2

a a b P x y a b b

                 

Bài toán 2. Cho , tìm GTNN của , 0

1

a b

a b

    

2 2 1 1 2 1 P ab a b     Giải

Lời giải 1. Ta có: 2 2 2 2 2 1 1 4 4 4 2 2 2 1 2 1 ( ) 1 P ab a b a ab b a b             

Dấu “=” xảy ra . Vô nghiệm

2 2 2 1 2 ( ) 1 0 1 1 a b ab a b a b a b

                     Vậy không tồn tại Min ...?..? P

Lời giải 2. Ta có:

2 2 2 2 2 1 1 1 4 1 4 1 6 3 3 3 1 6 1 ( ) 1 4 P ab ab ab ab a b a ab b a b ab              

Mặt khác . Vậy

2 1 2 4 a b ab          2 2 4 1 8 3 2 6 2 2

P

a b a b                 

Dấu “=” xảy ra .

2 2 1 3

1 2 1

a b ab

a b a b

a b

             Lời bình: Bài toán 1 và bài toán 2 gần như tương tự nhau, cùng áp dụng bất đẳng thức

. Lời giải 1 tại sao sai? Lời giải 2 tại sao lại tách ?..? Làm sao 1 1 4 a b a b   

1 1 1 2 6 3 ab ab ab  

nhận biết được điều đó…?...Đó chính là kỹ thuật chọn điểm rơi trong bất đẳng thức. Và qua chuyên đề này chúng ta sẽ hiểu sâu hơn về kỹ thuật “chọn điểm rơi” trong việc giải các bài toán cực trị

ThuVienDeThi.com

Trang 2

II. NỘI DUNG 1. Bổ túc kiến thức về bất đẳng thức

a) Tính chất cơ bản của bất đẳng thức

Định nghĩa: 0 a b a b    

 a b a c b c

       a b a c b c     

 a b a c b d c d

       

 1 1 0 a b a b    

b) Một số bất đẳng thức cơ bản

 Bất đẳng thức Cauchy Cho số thực không âm ta luôn có n 1 2 , ,..., ( 2) n a a a n 

. Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi . 1 2

1 2... n n n a a a a a a n     

1 2 n a a a    

 Một vài hệ quả quan trọng:

 2 1 2

1 2

1 1 1 ( ) vôùi 0, 1, n i n a a a n a i n a a a                  



2

1 2 1 2

1 1 1 vôùi 0, 1, i n n

n a i n a a a a a a              Cho số dương ( ): ta có: 2n , 2 n Z n   1 2 1 2 , ,..., , , ,..., n n a a a b b b

1 1 2 2 1 2 1 2 ( )( )...( ) ... ... n n n n n n n a b a b a b a a a b b b     

 Bất đẳng thức BCS Cho số dương ( ): ta có: 2n , 2 n Z n   1 2 1 2 , ,..., , , ,..., n n a a a b b b

2 2 2 2 2 2 2 1 1 2 2 1 2 1 2 ( ) ( )( ) n n n n a b a b a b a a a b b b             

Dấu “=’ xảy ra 1 2

1 2

(quy öôùc neáu 0 0) n

i i n

a a a b a b b b        

 Hệ quả(Bất đẳng thức Svác-xơ) Cho hai dãy số ta luôn có: 1 2 1 2 , ,..., vaø , ,..., vôùi 0 1, n n i a a a b b b b i n  

2 2 2 2

1 2 1 2

1 2 1 2

( ) n n

n n

a a a a a a b b b b b b             

Dấu “=’ xảy ra 1 2

1 2

n

n

a a a b b b     

2. Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất Cho là một hàm biến thực trên 1 2 ( , ,..., ) n f x x x n : : n n D f D    A A A



1 2 1 2

0 0 0 0 0 0 1 2 1 2

( , ,..., ) ( , ,..., ) Max

( , ,..., ) : ( , ,..., )

n n

D n n

f x x x M x x x D f M

x x x D f x x x M

        

ThuVienDeThi.com