Chuyên đề về Số chính phương

Trường THCS Nhơn Mỹ Năm học: 2015 – 2016.

1

CHỨNG MINH MỘT SỐ KHÔNG PHẢI LÀ SỐ CHÍNH PHƯƠNG.

“Số chính phương là số bằng bình phương của một số tự nhiên” 1. Nhìn chữ số tận cùng: (số chính phương phải có chữ số tận cùng là một trong các chữ số 0; 1; 4; 5; 6; 9).

o Bài 1: Chứng minh số: không phải là số chính phương. 2 2 2 2 N 2004 2003 2002 2001    

Lời giải: Dễ dàng thấy chữ số tận cùng của các số 2 2 2 2 2004 ; 2003 ; 2002 ; 2001 lần lượt là 6; 9; 4; 1. Do đó số N có chữ số tận cùng là 8 nên N không phải là số chính phương. Chú ý: Nhiều khi số đã cho có chữ số tận cùng là một trong các số 0; 1; 4; 5; 6; 9 nhưng vẫn không phải là số chính phương. 2. Nếu số chính phương chia hết cho số nguyên tố p thì phải chia hết cho p2.

o Bài 2: Chứng minh số 1234567890 không phải là số chính phương.

Lời giải: Thấy ngay số 1234567890 chia hết cho 5 (vì chữ số tận cùng là 0) nhưng không chia hết cho 25 (vì hai chữ số tận cùng là 90). Do đó số 1234567890 không phải là số chính phương. Chú ý: Có thể lý luận 1234567890 chia hết cho 2 (vì chữ số tận cùng là 0), nhưng không chia hết cho 4 (vì hai chữ số tận cùng là 90) nên 1234567890 không là số chính phương.

o Bài 3: Chứng minh rằng nếu một số có tổng các chữ số là 2004 thì số đó không phải là số chính phương.

Lời giải: Ta thấy tổng các chữ số của số 2004 là 6 nên 2004 chia hết cho 3 mà không chia hết 9 nên số có tổng các chữ số là 2004 cũng chia hết cho 3 mà không chia hết cho 9, do đó số này không phải là số chính phương. 3. Dùng tính chất của số dư

o Bài 4: Chứng minh một số có tổng các chữ số là 2006 không phải là số chính phương.

Lời giải: Vì số chính phương khi chia cho 3 chỉ có số dư là 0 hoặc 1 mà thôi. Do tổng các chữ số của số đó là 2006 nên số đó chia cho 3 dư 2. Chứng tỏ số đã cho không phải là số chính phương. 4. “Kẹp” số giữa hai số chính phương “liên tiếp” Nếu n là số tự nhiên và số tự nhiên k thỏa mãn thì k không là số chính phương.  

2 2 n k n 1    o Bài 5: Chứng minh số 4014025 không là số chính phương.

Nhận xét : Số này có hai chữ số tận cùng là 25, chia cho 3 dư 1, chia cho 4 cũng dư 1. Thế là tất cả các cách làm trước đều không vận dụng được. Lời giải : Ta có nên 2 2 2003 4012009; 2004 4016016   2 2 2003 4014025 2004 .   Chứng tỏ 4014025 không là số chính phương.

o Bài 6: Chứng minh không là số chính phương với mọi số tự nhiên n     A n n 1 n 2 n 3     khác 0.

Lời giải: Ta có:     A 1 n n 1 n 2 n 1 3     

            

2 2 2 2 2

2 2

n n 1 n 2 n 3 1 n 3n n 3n 2 1 n 3n 2 n 3n 1

n 3n 1 .

            

  

Mặt khác :      2 2 2 2 2 n 3n n 3n 2 n 3n A.      

Điều này hiển nhiên đúng vì n ≥ 1. Chứng tỏ : (n2 + 3n)2 < A < A + 1 = (n2 + 3n +1)2.

ThuVienDeThi.com

Trường THCS Nhơn Mỹ Năm học: 2015 – 2016.

2

=> A không là số chính phương.

o Bài 7: Chứng minh rằng tổng bình phương của hai số lẻ bất kỳ không phải là một số chính phương.

Lời giải: a và b lẻ nên   a 2k 1, b 2m 1 k, m     A     2 2 2 2 2 2 a b 2k 1 2m 1 4k 4k 1 4m 4m 1            

.     2 2 4 k k m m 2 4t 2 t       A

Không có số chính phương nào có dạng   4t 2 t  A

Do đó: không thể là số chính phương. 2 2 a b  o Bài 8: Chứng minh rằng tổng các bình phương của năm số tự nhiên liên tiếp không thể là một số chính phương

Lời giải: Gọi năm số tự nhiên liên tiếp đó là:   n 2, n 1, n, n 1, n 2 n , n 2 .       A

Ta có:           2 2 2 2 2 2 n 2 n 1 n n 1 n 2 5 n 2          

Vì n2 không thể tận cùng bởi 3 hoặc 8 do đó không thể chia hết cho 5 2 n 2  không là số chính phương hay A không là số chính phương   2 5 n 2  

o Bài 9: Chứng minh rằng số có dạng trong đó không phải là 6 4 3 2 n – n 2n 2n   n , n 1   A số chính phương

Lời giải: Ta có:        6 4 3 2 2 4 2 2 2 n – n 2n 2n n . n – n 2n 2 n n n 1 n 1 2 n 1                       2 3 2 2 3 2 n n 1 n – n 2 n n 1 n 1 – n 1                 …