Đề thi học sinh giỏi lớp 8 môn Toán năm 2021 2022 phòng GD ĐT Thiệu Hóa Thanh Hóa

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THIỆU HÓA ĐỀ THI CHÍNH THỨC (Đề thi có 05 câu, 01 trang)

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 8 NĂM HỌC 2021-2022 MÔN THI: TOÁN Ngày thi: 28/3/2022 Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)

Câu 1. (4,0 điểm): Cho biểu thức

M =  

 

4 2

2

2 2 3

2 3 2 8 4 16 4 1 1 2 4 1 4 : 1 1 4 3 1

a a a a a a a a a a a a a a

            

         

1. Rút gọn M. Tìm a để M < 5a.

2. Cho a, b, c đôi một khác nhau và khác 0. Cho a + b + c = 0

Tính N = a b b c c a c a b . 1 c a b a b b c c a                    

Câu 2. (4,0 điểm):

1. Giải các phương trình: 0 28 1 3 )1 (

2

3

3 3       x x x x x

2. Tìm hai số x; y thỏa mãn 2 điều kiện sau: 3 2 10 0 x xy y    và 2 2 6 10 x y  

Câu 3. (4,0 điểm):

1. Tìm số x, y nguyên thỏa mãn: 2 2 3 2 2 2 2 3 3 3 6 6 7 0 x y xy x xy x y xy y y         

2. Tìm tất cả các số chính phương gồm 4 chữ số biết rằng khi ta thêm 1 đơn vị vào

chữ số hàng nghìn , thêm 3 đơn vị vào chữ số hàng trăm, thêm 5 đơn vị vào chữ số hàng

chục, thêm 3 đơn vị vào chữ số hàng đơn vị , ta vẫn được một số chính phương.

Câu 4. (6,0 điểm) Cho đoạn thẳng AB cố định có O là trung điểm. Trên đường thẳng vuông góc với AB tại A, lấy điểm C sao cho AC AO  . Kẻ AK vuông góc CO tại K, điểm D đối xứng với A qua K. Đường thẳng qua O vuông góc với AB cắt BD tại E. Kẻ DH vuông góc với AB tại H, DH cắt BC tại I. a. Chứng minh: CD = EO b. Chứng minh: KI đi qua trung điểm của BD. c.Kẻ IN vuông góc với AC tại N, kẻ DM vuông góc với AC tại M, DM cắt CO tại J. Chứng minh tứ giác JNOI là hình bình hành. Khi C di chuyển (sao cho AC AO  ), Tính giá trị nhỏ nhất của 2 2 OJ NI  Câu 5. (2,0 điểm): Cho , , 0 a b c  thỏa mãn 3 a b c   

Tìm giá trị nhỏ nhất của A = 2 2 2 1 1 1 1 1 1 a b c b c a        

....................................................... HẾT................................................................ Thí sinh không sử dụng tài liệu. Giám thị không giải thích gì thêm.

HƯỚNG DẪN CHẤM CÂU ĐÁP ÁN ĐIỂM Câu 1. (4,0 điểm) Câu 2 (4,0 điểm)

Ý 1 (2.5đ) Điều kiện: 0; 1 a a  

* Ta có:

 

 

4 2

2

2 2 3

2 3 2 8 4 16 4 1 1 2 4 1 4 : 1 1 4 3 1

a a a a a a a a a a a a a a

            

         

M =

4 2

2 2 4 8 4 16 4 4 a a a a a a      

Vậy với 0; 1 a a   Thì M = a2+4

* khi M < 5a Ta có a2+4 < 5a  a2- 5a+4<0 (a-1)(a-4) <0 1<a <4

1.5 1.0

Ý 2. (1.5đ)

Đặt 1 1 1 ; ; ; ; a b b c c a c a b x y z c a b a b x b c y c a z             

Ta có 1 1 1 ( ) 1 N x y z x y z             

N= 1 1 1 ( ) 1 4 y z x z x y x y z x y z x y z                       

Ta lại có:

2 2 . . y z b c c a c b bc ac a c x a b a b ab a b                 

  2 2 ( ) ( )( ) ( ) 2 ( )

c c a b c c a b c a b c c a b c ab a b ab ab ab

             Tương tự ta có

2 2 2 2 ; x z a x y b y bc z ac    

2 2 2 3 3 3 1 1 1 2 2 2 2 N ( ) 1 4 4 ( ) c a b x y z a b c x y z ab bc ac abc                    Vì 3 3 3 0 3 a b c a b c abc       

Do đó N= 1 1 1 2 ( ) 1 4 .3 4 6 10 x y z abc x y z abc                Vậy N= 10

0.5 0.5 0.5 Ý 1. (2đ) ĐK : x 1 

Ta có 0 28 1 3 )1 (

2

3

3 3       x x x x x

0 28 1 3 ) 1 ( 1 . 3 ) 1 (

2 3           x x x x x x x x x x x

 0 27 1 1 3 ) 1 ( 3 ) 1 (

2 2 2 3 2         x x x x x x

 3 3 2 3 )1 1 (    x x

0.5 0.5