Đề thi HSG lớp 8 môn Toán năm 2022 2023 trường THCS Cao Xuân Huy Nghệ An

TRƯỜNG THCS CAO XUÂN HUY

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG, LỚP 8

NĂM HỌC 2022 - 2023 Môn: Toán ( Thời gian làm bài 120 phút )

----------------------------------- Bài 1. (5,0 điểm)

1. Chứng minh rằng n(3n2 + 2022) chia hết cho 9 với mọi số nguyên n 2. Xác định các hệ số a, b để đa thức chia hết cho đa thức 3. Cho các số nguyên a, b, c, d thỏa mãn: a + b = c + d.

Chứng minh a2 + b2 + c2 + d2 là tổng của ba số chính phương

Bài 2. (4,0 điểm)

1. Tìm các cặp số nguyên x, y thỏa mãn: x2 + 2y2 + xy - 2xy2 = x + y + 1

2. Giải phương trình: (x-2022)3 + (x-2023)3 = (2x - 4045)3

Bài 3. (4,0 điểm) 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

2. Cho các số x, y, z 0 và x + y + z = 1. Chứng minh rằng: x + 2y + z 4(1 – x)(1 – y)(1 – z) Bài 4. (6,0 điểm)

1. Cho hình vuông ABCD, trên tia đối của tia BA lấy M, trên tia đối của tia CB

lấy N sao cho AM = CN a) Chứng minh  MDN vuông cân b) Gọi O là giao điểm của 2 đường chéo AC và BD. Gọi K là trung điểm MN. Chứng minh O, C, K thẳng hàng. 2. Cho tam giác ABC có ba góc nhọn (AB < AC), đường cao AH. Kẻ HD

vuông góc với AB (D thuộc AB). Gọi I là trung điểm của AD, trên tia đối

của tia BC lấy điểm K sao cho BK = BH. Chứng minh KD vuông góc với HI

Bài 5. (1,0 điểm) Cho x là số thực sao cho , chứng minh với mọi số

nguyên dương n thì

-------------------------- Hết --------------------------

Họ và tên thí sinh:.............................................................. Số báo danh: .................