Đề HSG lớp 8 môn Toán vòng 2 năm 2022 2023 trường THCS Trần Mai Ninh Thanh Hóa

1

PGD&ĐT TP THANH HOÁ TRƯỜNG THCS TRẦN MAI NINH

ĐỀ THI CHÍNH THỨC

Đề thi có 01 trang

ĐỀ KHẢO SÁT CHỌN ĐỘI TUYỂN TOÁN 8 NĂM HỌC 2022 – 2023 (VÒNG II) Thời gian làm bài 120 phút, không kể thời gian giao đề

Câu 1. (4,0 điểm)

1. Rút gọn biểu thức ( )( ) ( )( ) ( )( ) = − − + − + + + −

2 2 2 2

1 1 1 1 a b a b P a b b a b a a b

2. Cho + + = + + + 1 x y z y z z x x y . Chứng minh rằng: + + = + + +

2 2 2 0 x y z y z z x x y

Câu 2. (4,0 điểm)

1. Tìm x biết:

... 4043 1 2 1 2 3 1 2 3 ... 4043 x x x x + + + + = + + + + + + +

2. Cho số thực x khác 0 thỏa mãn 2 x x + và x3 đều là số hữu tỉ. Chứng minh rằng x là

số hữu tỉ.

Câu 3. (4,0 điểm)

1. Tìm tất cả các số nguyên x và y sao cho

4 3 3 1 x y xy + = +

2. Cho S là tập hợp các số nguyên dương n có dạng

2 2 3 n x y = + , trong đó x, y là các

số nguyên. Chứng minh rằng nếu A S ∈và A là số chẵn thì A chia hết cho 4 và . 4 A S ∈

Câu 4. (6,0 điểm) 1. Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và AC. Vẽ NH vuông góc với CM tại H, HE vuông góc với AB tại E. Trên tia NH lấy điểm K sao cho NK = CM. a) Chứng minh tứ giác ABKC là hình vuông b) Chứng minh HM là tia phân giác của góc BHE

c) Giả sử 0 135 AHC = . Chứng minh

2 2 2 2HA HB HC = − Câu 5. (2,0 điểm) Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn 1 abc = . Tìm GTNN của

3 3 3 3 3 3

2 2 2 2 2 2 a b b c c a P a ab b b bc c c ca a + + + = + + + + + + + +

---------------Hết----------------

Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.

2

PGD&ĐT TP THANH HOÁ TRƯỜNG THCS TRẦN MAI NINH Biểu chấm gồm 04 trang

HƯỚNG DẪN VÀ BIỂU CHẤM KHẢO SÁT CHỌN ĐỘI TUYỂN TOÁN 8 (VÒNG II)

NĂM HỌC 2022 – 2023 Câu Hướng dẫn giải Câu 1 4.0điểm

1.a 2.0điểm

1.b 2.0điểm

Rút gọn biểu thức ( )( ) ( )( ) ( )( )

2 2 2 2

1 1 1 1 a b a b P a b b a b a a b = − − + − + + + −

Ta có ( ) ( ) ( ) ( )( )( )

2 2 2 2 1 1

1 1

a a b b a b a b P a b b a

+ − − − + = + − +

( ) ( )( )( )

+ − + − + = + − +

3 2 2 3 2 2

1 1

a a b b a b a b

a b b a

0.5

( ) ( ) ( ) ( )( )( )

+ + − − + = + − +

3 3 2 2 2 2

1 1

a b a b a b a b

a b b a

( )( ) ( )( ) ( ) ( )( )( )

2 2 2 2

1 1

a b a ab b a b a b a b a b

a b b a

+ − + + − + − + = + − +

0.5

( )( ) ( )( )( )

+ − + + − − = + − +

2 2 2 2

1 1

a b a ab b a b a b

a b b a

( ) ( ) ( ) ( )( )

2 2 2 2

1 1

a a b a ab b b

b a

− + − + − = − +

0.5

( )( ) ( ) ( ) ( )( )

− + + − − − = − +

2 1 1 1 1

1 1

a b b a b b b

b a

( )( ) ( )( )

2 2 1

1 1

b a b a a b

b a

− + + − = − +

( ) + + − = +

2 2

1

a b a a b

a

( ) ( ) ( ) ( )( ) 2 2 1 1 1

1 1

a a a b b a a b a a

a a

+ + − + + + − = = + +

( )( ) ( )

+ + − = = + − +

1

1

a a ab b a ab b a

0.5

2. Cho + + = + + + 1 x y z y z z x x y . Chứng minh rằng: + + = + + +

2 2 2 0 x y z y z z x x y 2.0 điểm

Nếu x + y + z = 0 thì + + ≠ ⇒ + + ≠ + + + 1 0 x y z x y z y z z x x y

Ta có: + + = + + + 1 x y z y z z x x y

Nếu x + y + z = 0 ⇒ + + ≠ ⇒ + + + + + ≠ 1 0 x x y z z x y z y z x y

  ⇒ + + + + = + +   + + +   ( ) x y z x y z x y z y z z x x y

⇒ + + + + + = + + + + +

2 2 2 x y z z y x x y z y z z x x y

⇒ + + = + + +

2 2 2 0 x y z y z z x x y

0.5

0.25

0.75

0.5

Câu 2 4.0điểm

1 2.0điểm

1. Tìm x biết:

... 4043 1 2 1 2 3 1 2 3 ... 4043 x x x x + + + + = + + + + + + +

2.0 điểm