Đề học sinh giỏi lớp 8 môn Toán năm 2022 2023 trường THCS Hải Hòa Nam Định

PHÒNG GD&ĐT ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG LỚP 8

NĂM HỌC 2022 - 2023 TRƯỜNG THCS HẢI HÒA

(Đề gồm 01 trang)

ĐỀ THI MÔN: Toán Thời gian: 120 phút (Không kể thời gian giao đề)

ĐỀ BÀI

Câu 1: (6.0 điểm) Cho biểu thức:

𝐴𝐴= 𝑥𝑥2 + 1 𝑥𝑥 + 𝑥𝑥3 −1 𝑥𝑥2 −𝑥𝑥+ 𝑥𝑥4 −𝑥𝑥3 + 𝑥𝑥−1 𝑥𝑥−𝑥𝑥3

a) Nêu ĐKXĐ và Rút gọn biểu thức A. b) Tính giá trị của biểu thức A biết x thoã mãn: 𝑥𝑥2 + 𝑥𝑥= 2 .

c) Tìm các giá trị x > 0 để biểu thức 6 B A = nhận giá trị nguyên .

Câu 2: (3.0 điểm)

1. Cho n là số tự nhiên lẻ. Chứng minh: 3 n n − chia hết cho 24.

2. Tìm số nguyên dương n để ( ) 2 2 8 36 n − + là số nguyên tố.

Câu 3: (3.0 điểm)

1. Tìm các cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn: 2 2 2 3 4 19 x y x + + =

2. Giải phương trình: 2 2 2 13 6 2 5 3 2 3 x x x x x x + = − + + + .

Câu 4: (7.0 điểm) Cho tam giác ABC nhọn . Các đường cao , AE BF cắt nhau tại H. Gọi M là trung

điểm của , BC qua H vẽ đường thẳng a vuông góc với , HM a cắt AB, AC lần lượt tại

I và K.

a) Chứng minh: 𝛥𝛥𝛥𝛥𝛥𝛥𝛥𝛥∼𝛥𝛥𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸

b) Qua C kẻ đường thẳng b song song với đường thẳng , IK b cắt AH, AB theo

thứ tự tại N và D. Chứng minh: NC ND = và . HI HK =

c) Gọi G là giao điểm của CH và AB. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

P = 𝐴𝐴𝐴𝐴

𝐻𝐻𝐻𝐻+ 𝐵𝐵𝐵𝐵

𝐻𝐻𝐻𝐻+ 𝐶𝐶𝐶𝐶

𝐻𝐻𝐻𝐻

Câu 5: (1.0 điểm)

Cho hai số dương x , y thỏa mãn:

2

2 2 4 4 12 9 1 y x x x y + = + + + . Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu

thức: 3 2 3 Q xy y x = − − −.

------------------Hết-------------------

(Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm)

ĐỀ CHÍNH THỨC

PHÒNG GD&ĐT ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG LỚP 8

NĂM HỌC 2022 - 2023 TRƯỜNG THCS HẢI HÒA

(Đề gồm 01 trang)

HƯỚNG DẪN CHẤM - MÔN TOÁN

Câu Nội Dung Điể

m

Câu 1 (6.0 đ)

Cho biểu thức:

𝑨𝑨= 𝒙𝒙𝟐𝟐+ 𝟏𝟏 𝒙𝒙 + 𝒙𝒙𝟑𝟑−𝟏𝟏 𝒙𝒙𝟐𝟐−𝒙𝒙+ 𝒙𝒙𝟒𝟒−𝒙𝒙𝟑𝟑+ 𝒙𝒙−𝟏𝟏 𝒙𝒙−𝒙𝒙𝟑𝟑

a)Tìm ĐKXĐ và Rút gọn biểu thức A. b) Tính giá trị của biểu thức A biết x thoã mãn: 𝒙𝒙𝟐𝟐+ 𝒙𝒙= 𝟐𝟐 .

c) Tìm x > 0 để biểu thức 6 B A = nhận giá trị nguyên .

6.0 đ

a) ĐKXĐ: Với 𝑥𝑥≠0; 𝑥𝑥≠1; 𝑥𝑥≠−1 b) Rút gọn: Với 𝑥𝑥≠0; 𝑥𝑥≠1; 𝑥𝑥≠−1 ta có:

2 3 4 3

2 3 1 1 1 x x x x x A x x x x x + − − + − = + + − −

= 𝑥𝑥2+1

𝑥𝑥 + 𝑥𝑥2+𝑥𝑥+1

𝑥𝑥 − 𝑥𝑥2−𝑥𝑥+1

𝑥𝑥

2 2 1 x x x + + =

( )

2 1 x x + =

0.5

0.5

0.5

0.5 b)Tính giá trị của biểu thức A biết x thoã mãn: 𝑥𝑥2 + 𝑥𝑥= 2 Ta có: 𝑥𝑥2 + 𝑥𝑥= 2 ⇔𝑥𝑥2 + 𝑥𝑥−2 = 0 ⇔(𝑥𝑥−1)(𝑥𝑥+ 2) = 0

⇔൤𝑥𝑥= 1 (𝑘𝑘𝑘𝑘/𝑚𝑚) 𝑥𝑥= −2(𝑡𝑡/𝑚𝑚)

Với 𝑥𝑥= −2 thì 𝐴𝐴= −1

2 .

0.5 0.5 0.5

0.5

c)Tìm x > 0 để biểu thức 6 B A = nhận giá trị nguyên

Vì 0 x > nên

( )

2 6 6 0 1

x B A x = = > +

Vì (x-1)2 > 0 suy ra: (x +1)2 > 4x

0.5

0.5

ĐỀ CHÍNH THỨC

Do đó: A = ( )

2 1 4 4 4 x x A x x + > = ⇒ > ⇒ 6

𝐴𝐴< 6

4 = 1,5

Khi đó: 0 1,5 B < < mà B nhận giá trị nguyên nên 1 B =

⇔

( ) ( )

2 2 2 2 3 6 1 6 1 4 1 0 1 2 3

x x x x x x x x

= + = ⇔ = + ⇔ − + = ⇔ + = − 

Vậy B nhận giá trị nguyên ⇔ 2 3

2 3

x

x

= +  = − 

(t/mđk)

0.5

0.5

Câu 2 (3.0 đ)

1. Cho n là số tự nhiên lẻ. Chứng minh: 3 n n − chia hết cho 24.

2. Tìm số nguyên dương n để ( ) 2 2 8 36 n − + là số nguyên tố.

3.0 đ

1.Ta có: ( )( ) 3 1 1 n n n n n − = − +

Vì 1; ; 1 n n n − + là ba số tự nhiên liên tiếp nên có một trong ba số đó chia hết

cho 3. Do đó ( ) 3 3 n n −  (1)

Vì n là số tự nhiên lẻ nên 1 n − và 1 n + là hai số tự nhiên chẵn liên tiếp. Do đó ( )( ) ( ) 3 1 1 8 8 n n n n − + ⇒ −   (2)

Vì 3 và 8 là hai số nguyên tố cùng nhau nên kết hợp với (1), (2) suy ra

( ) 3 24 n n −  (đpcm)

0.5

0.5

0.5

2.Ta có

( ) 2 2 4 2 4 2 8 36 16 64 36 16 100 n n n n n − + = − + + = − + 4 2 2 20 100 36 n n n = + + −

( ) 2 2 2 10 36 n n = + − ( )( ) 2 2 6 10 6 10 n n n n = − + + +

Vì * n N ∈ nên 2 2 6 10 6 10 n n n n + + > − +

để ( ) 2 2 8 36 n − + là số nguyên tố thì

2

2 6 10 1

6 10 1

n n

n n

 + + =  − + = 

Mà 2 2 6 10 6 10 n n n n + + > − + nên 2 6 10 1 n n − + =

( ) 2 2 6 9 0 3 0 3 n n n n ⇔ − + = ⇔ − = ⇔ =

Thử lại: Với n = 3 ( ) ( ) 2 2 2 2 8 36 3 8 36 37 n ⇒ − + = − + = là số nguyên tố

Vậy với n = 3 thì ( ) 2 2 8 36 n − + là số nguyên tố

0.5

0.5

0.5

Câu 3 (3.0 đ)

1. Tìm các cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn: 2 2 2 3 4 19 x y x + + =

2. Giải phương …