Đề học sinh giỏi lớp 8 môn Toán năm 2022 2023 trường THCS An Trung Nghệ An

TRƯỜNG THCS AN TRUNG

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG LỚP 8 NĂM HỌC 2022 -2023

Môn Toán 8 – Thời gian 120 phút

Câu 1: (6 điểm)a) Tìm x, y Z  thỏa mãn 2 3 1 x xy x y    .

b) Tìm x, y là các số tự nhiên lớn hơn 1 sao cho 4 1 x y  và 4 1 y x .

c) Xác định đa thức f(x) biết f(x) chia hết cho 2x – 1, chia cho x – 2 thì dư 6, chia

cho 2 2 5 2 x x   được thương là x + 2 và còn dư .

Câu 2 (4 điểm)1.Cho biểu thức

2 2

2 2 1 1 2 : 2 1 1 x x x x P x x x x x x                

a) Rút gọn biểu thức P.

b) Tìm x để 1 2 P   .

Câu 3 (4 điểm) a) Giải phương trình sau: x(x + 1)(x - 1)(x + 2) = 24.

b) Cho x > 0,y > 0 và 3 x y   . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

2 2 28 1 2 2022 P x y x y      .

Câu 4 (6 điểm)1. Cho hình vuông ABCD trên các cạnh AB, BC, CD, DA lần lượt

lấy các điểm M, N, P, Q sao cho AM = BN = CP = DQ.

a) Chứng minh MNPQ hình vuông.

b) Tìm vị trí của M, N, P, Q để diện tích tứ giác MNPQ đạt giá trị nhỏ nhất.

2. Cho tam giác ABC (AB <AC), M là trung điểm của BC. Một đường thẳng qua

M và song song với phân giác của góc BAC cắt AC, AB lần lượt tại E, F.

Chứng minh CE = BF.

………..Hết………..

Hướng dẫn chấm

Câu Nội dung Điểm 1 Tìm x, y Z  thỏa mãn a) 2 3 1 x xy x y     Ta có y(x +3) = x2 + x – 1 Nếu x = -3 Thì VT = 0 còn VP khác 0.

Nên 3 x  suy ra

2 1 5 2 3 3 x x y x x x        

x,y là số nguyên nên 5 3 x     3 1; 1;5; 5 x    Vậy các cặp (x; y) thỏa mãn là: (-2; 1), (-4; -11), (2; 1); (-8; -11)

0,5

0,5

0,5

0,5

b) Tìm x, y là các số tự nhiên lớn hơn 1 sao cho 4 1 x y  và 4 1 y x  Đặt 4x +1 = ky ( k là số tự nhiên) Gỉ sử 2 x y   Ta có ky = 4x +1 < 4y+y = 5y suy ra k < 5 mà k là số lẻ nên k = 1, k = 3. Với k = 1 suy ra y = 4x +1 suy ra

  4 1 4 4 1 1 5 5 21 y x x x x x y             Với k = 3 suy ra 3y = 4x +1

Từ   29 4 1 12 3 4 4 1 3 7 7, 3 y x y x x x x x y              

(Loại) Vậy (x; y) là (5;21), (21; 5)

0,5

0,5

0,5

0,5

Gọi đa thức dư của phép chia f(x) cho 2x2 -5x +2 là ax + b Thương của phép chia f(x) cho 2x – 1 là A(x) và thương của phép chia f(x) cho x – 2 là B(x). Ta có f(x) = (2x - 1).A(x) (1) f(x) = (x - 2).B(x) + 6 (2) f(x)= (2x2 -5x +2)(x +2) + ax +b (3)

xét x = ½ từ (1) và (3) suy ra f(1/2) = 1. 0 2 a b  

xét x = 2 từ (2) và (3) suy ra f(2) = 6 = 2a +b Từ đó suy ra a = 4, b = -2 Vậy f(x) = (2x2 -5x +2)(x +2) +4x – 2.

0,5

0,5

0,5

0,5

Câu 2

Cho biểu thức

2 2

2 2 1 1 2 : 2 1 1 x x x x P x x x x x x                

a) Rút gọn biểu thức P.

b) Tìm x để 1 2 P   .

ĐK:

0 1

1

x

x x

      

a)    

        

2

2 1 1 1 2 : 1 1 1 1

x x x x x x P x x x x x x x

                

     

2 2 2

2 1 1 2 : 1 1 1

x x x x x x P x x x x

        

b)

2 1 1 2 1 2 x p x         

1 2 1 1 0 2

1

x x x

x

        

x=-1(KTM), x=1/2 (TM)

0,5

1,0

1,5

0,5

0,5

Câu 3 a) Giải phương trình sau: x(x + 1)(x - 1)(x + 2) = 24.

Ta có (x2 + x)( x2 + x -2) = 24 Đặt x2 + x = a ta có a(a - 2) = 24 suy ra a2 -2a = 24 suy ra a = 6, a = - 4. Với a = 6 suy ra x2 + x – 6= 0 suy ra x = 2, x = -3 Với x = -4 suy ra x2 +x +4 = 0 vô nghiệm.

1,0

1,0

b) Cho x > 0,y > 0 và 3 x y   . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

2 2 28 1 2 2022 P x y x y      .

      2 2 28 1 7 2 2 1 2013 P x y x y x y x y                       

Suy ra 28 1 2 .7 2 . 0 0 3 2013 2046 P x y x y       

Suy ra GTNN của P = 2046 khi x = 2, y = 1.

1,0

1,0