2 Đề khảo sát học sinh giỏi môn Toán Lớp 7 - Phòng GD & ĐT Duy Xuyên (Có đáp án)

PHÒNG GD & ĐT DUY XUYÊN ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2007 - 2008 ĐỀ CHÍNH THỨC MÔN: TOÁN 7 Thời gian làm bài: 120 phút

Bài 1: (1,5đ)

a/ Rút gọn:

2 9 5 3 3

2 8 8 3 5 .6 .10 6 .2 .15 5 .6 .10 2.6 .10 

 b/ Biết 14 + 24 + 34 + ... + 94 + 104 = 25333 Tính tổng S = 24 + 44 + 64 + ... + 184 + 204 Bài 2: (2,0đ)

Cho tỉ lệ thức

2 2 22 14 x y x y   

a/ Tính tỉ số

x y b/ Tìm x, y biết x2 + y2 = 82 Bài 3: (3,0đ)

a/ Cho M =

2 2

2 3 1 x y x x

   N = (x + 1)2 + (y - 2 )2 + 2008 Tính giá trị của M tại x, y thỏa mãn N đạt giá trị nhỏ nhất

b/ Cho A = 2x4y2 – 7x3y5 ; B = 1 2  x4y2 + 2x3y5 ; C = 5x3y5

Chứng tỏ rằng trong ba biểu thức A, B, C có ít nhất một biểu thức luôn có giá trị không âm với mọi x, y.

c/ Tìm x  N biết 2x+1 + 2x+4 + 2x+5 = 26.52 Bài 4: (2,5đ)

Cho ABC cân tại A (AB > AC). M là trung điểm AC. Đường thẳng vuông góc với AC tại M cắt BC tại P. Trên tia đối tia AP lấy điểm Q sao cho AQ = BP.

a/ Chứng minh rằng:

+/ · · APC BAC  +/ PC = QC b/ ABC cần thêm điều kiện gì để CQ  CP Bài 5: (1,0đ)

Cho ABC có àA = 300. Dựng bên ngoài tam giác đều BCD. Chứng minh: AD2 = AB2 + AC2

*=*=*=*=*= Hết =*=*=*=*=*

ThuVienDeThi.com

PHÒNG GD & ĐT DUY XUYÊN ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2008 - 2009 ĐỀ CHÍNH THỨC MÔN: TOÁN 7 Thời gian làm bài: 120 phút

Bài 1: (1,5đ)

Thực hiện phép tính sau một cách hợp lí:

a/

5 5 9

11 4 12 4 .9 6 .30 6 8 .3  

b/

3 3 3 0,375 0,3 1,5 1 11 12 4 5 5 5 5 0,625 0,5 2,5 11 12 3 4

          

Bài 2: (3,0đ)

a/ Cho hai đa thức P(x) = x2 + 2mx + m2 và Q(x) = x2 – (2m + 1)x + m2. Tìm m biết P(3) = Q(-2) b/ Tìm giá trị lớn nhất của M = 2009 - 7 x  - (2y + 4)2008

c/ Tìm x biết 2 4 5 x x     Bài 3: (2,5đ)

a/ Cho a + b + c = 2009 và

1 1 1 1 7 a b b c c a      

Tính S =

a b c b c a c a b      b/ Tổng các lũy thừa bậc ba của 3 số là -1009. Biết tỉ số của số thứ nhất với số thứ

hai là 2

3 , giữa số thứ nhất với số thứ ba là 4

9 . Tìm 3 số đó.

Bài 4: (2,0đ)

Cho ABC có àA < 900. Trên nữa mặt phẳng bờ AC không chứa B vẽ tia Ax vuông góc với AC và lấy trên tia đó điểm E sao cho AE = AC. Trên nửa mặt phẳng bờ AB không chứa C vẽ tia Ay vuông góc với AB và lấy trên đó điểm D sao cho AD = AB.

a/ Chứng minh DC = BE và DC  BE. b/ Gọi N là trung điểm của DE. Trên tia đối của tia NA lấy điểm M sao cho NA = NM. Chứng minh AB = ME và ABC = EMA Bài 5: (1,0đ)

Cho ABC vuông tại A, một đường thẳng d cắt hai cạnh AB và AC lần lượt tại D và E. Chứng minh rằng CD2 – CB2 = ED2 – EB2.

*=*=*=*=*= Hết =*=*=*=*=*

ThuVienDeThi.com

ĐÁP ÁN & BIỂU ĐIỂM

1/ 1,0đ

12 5 6 2 10 3 5 2 12 5 12 4 10 3 10 4

2 6 4 5 3 9 3 12 6 12 5 9 3 9 3 3 2 .3 4 .9 5 .7 25 .49 2 .3 2 .3 5 .7 5 .7 (2 .3) 8 .3 (125.7) 5 .14 2 .3 2 .3 5 .7 5 .2 .7           

12 4 10 3 12 4 10 3

12 5 9 3 3 12 5 9 3 2 .3 .(3 1) 5 .7 .(1 7) 2 .3 .2 5 .7 .( 6) 1 10 7 2 .3 .(3 1) 5 .7 .(1 2 ) 2 .3 .4 5 .7 .9 6 3 2             

0,25đ

0,75đ

2a/ 0,5đ

(x – 1)3 = -8  x – 1 = -2  x = -1. Vậy x = -1

0,25đ 0,25đ 2b/ 0,5đ 9 7 5 3 x x   . ĐK 3 5 x   9 7 5 3 9 7 3 5 x x x x         12 12 1

2 6 3

x x

x x

           

(TMĐK) vậy x = 1 hoặc x = 3

0,25đ

0,25đ

2c/ 0,5đ x - 3 x = 0. ĐK x ≥ 0  0 ( 3) 0 9

x x x x

     

(TMĐK) 0,5đ 2d/ 0,5đ 12x = 15y = 20z  48 4 20; 16; 12 5 4 3 12 12 x y z x y z x y z            0,5đ

3a/ 0,75đ

Vì a  Z+  4a  1 (mod 3)  4a + 2  0 (mod 3) Mà 4a + 2  0 (mod 2)  4a + 2  6 Khi đó ta có 4a + a + b = 4a + 2 + a + 1 + b + 2007 – 2010  6 Vậy với a, b  Z+ sao cho a + 1 và b + 2007  6 thì 4a + a + b  6

0,25đ

0,25đ 0,25đ 3b/ 0,75đ

Từ 6x2 + 5y2 = 74  6x2 ≤ 74  x2 ≤ 74/6 mà x  Z  x{0; 1; 4; 9} Mặt khác ta có x2 + 1 = 75 – 5x2 – 5y2  5  x2 = 4 hoặc x2 = 9 Nếu x2 = 4  y2 = 10 (loại vì y  Z) Nếu x2 = 9  y2 = 4  (x, y)  {(3, 2); (3; -2); (-3; 2); (-3; -2)}

0,25đ

0,25đ 0,25đ 4a/ 1,0đ a c a c c a b d b d d b         . . a c a c a c b d b d b d     



2 2

2 2 ( ). ( ). ( ). ( ). a c a …