Xem trước nội dung
UBND HUYỆN THUẬN THÀNH PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐỀ THI CHỌN GIÁO VIÊN DẠY GIỎI CẤP HUYỆN VÒNG I
CẤP THCS - NĂM HỌC 2015-2016
Môn: Toán Thời gian làm bài: 120 phút
Ngày thi: 05/11/2015
Bài I: (4.5đ)
Cho biểu thức: P =
1
)1 ( 2 2
1
2
x
x
x
x x
x x
x x
1. Rút gọn P. 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của P.
Bài II: (6đ)
1. Tìm n nguyên dương để n2015 + n2014 +1 là số nguyên tố.
2. Cho S = . Chứng minh rằng 2 2 2 2 1 1 1 1 ... 2 3 4 9 9 8 5 2 S
3. Tìm x; y; z biết rằng: và x.y.z = 12 2 3 2 2 1 4
z y x
Bài III: (4đ)
Cho hệ phương trình
1 2
2
y mx
my x
1. Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất (x;y) thoả mãn x dương và y âm. 2. Tìm các số nguyên m để hệ có nghiệm duy nhất (x;y) mà x,y là các số nguyên.
Bài IV: (4đ)
Cho hình vuông ABCD nội tiếp đường tròn (O;2cm) tiếp tuyến với (O) tại A và B cắt nhau tại M, đường thẳng MD cắt (O) tại E (E khác D) và cắt AB tại F. Gọi I và K theo thứ tự là trung điểm các đoạn AB; DE. Tia OK cắt AB tại P; AK cắt đường tròn (O) tại N.
1. Chứng minh rằng: PA.PB = PF.PI. 2. Tính diện tích tam giác MND.
Bài V: (1.5đ)
Giải phương trình: x4 + x2 + 6x + 1 = 0
Họ và tên thí sinh: ……………………….. Số báo danh: …………. Phòng thi: ….
ThuVienDeThi.com
PHÒNG GD&ĐT THUẬN THÀNH
HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN GVDG CẤP HUYỆN VÒNG I
CẤP THCS - NĂM HỌC 2015-2016
Môn: Toán Bài Hướng dẫn Điểm Bài I 1.
2.
Bài II 1.
2.
Rút gọn P Đkxđ: x>0; x 1
P = = = 1
)1 ( 2 2
1
2
x
x
x
x x
x x
x x
= 1
)1 )( 1 ( 2 )1 2 (
1
)1 )( 1 (
x
x x
x
x x
x x
x x x x
= x- -2 -1 +2 + 2 = x - + 1 x x x x Tìm giá trị nhỏ nhất của P
P = x - + 1 = ( - )2 + x x 2 1
4 3 4
3
Suy ra P dấu bằng đạt được khi x = thoả mãn 4
3
4 1
Vậy min P = đạt khi x = 4 3
4 1
1.Tìm n nguyên dương để n2015 + n2014 +1 là số nguyên tố. Đặt P = n2015 + n2014 +1 - Với n=1 ta thấy P = 3 là số nguyên tố - Xét n 2 ta có P > n2 + n + 1 Mặt khác n2015 – n2 = n2(n2013 -1) = n2[(n3)671 –(13)671] chia hết cho n3 -1 mà n3 -1 =(n-1) (n2 + n + 1) (Áp dụng an - bn chia hết cho a-b) Vậy n2015 – n2 chia hết cho n2 + n + 1 Tương tự: n2014 – 1 = n (n2013 -1) chia hết cho n2 + n + 1 Do đó P = n2015 + n2014 +1 = (n2015 – n2) + (n2014 – n) + n2 + n + 1 chia hết cho n2 + n + 1 Vậy P có nhiều hơn 2 ước do đó P là hợp số Vậy để P là số nguyên tố thì n = 1
2. Cho S = . Chứng minh rằng 2 2 2 2 9
1 ... 4
1 3
1 2
1 9 8 5 2 S
- Chứng minh: b b b b b
1 1 1 1 1 1 1
2
- Áp dụng ta có ; ; … 3 1 2 1 2
1
2 4 1 3 1 3
1
2 10
1 9 1 9
1
2
Cộng từng vế của các bất đẳng thức trên ta có
3 điểm 0.25đ
1.5đ
1.25đ
1.5đ 0.5đ
0.5đ
0.5đ
6điểm 2đ
0.5đ
0.75đ
0.5đ 0.25đ
2 điểm
0.5đ
ThuVienDeThi.com
3
Bài III 1.
2.
S > (1) 5 2 10
1 2 1
- Chứng minh tương tự ta có S < (2) 9 8
Từ (1) và (2) suy ra điều phải chứng minh
3. Tìm x; y; z biết rằng: và x.y.z = 12 2 3 2 2 1 4
z y x
Đặt =k 2 3 2 2 1 4
z y x Suy ra kx = 4-k; ky = 2+2k; kz = 3-2k Nhân từng vế ta có k3 xyz =4k3 – 18k2 +2k + 24 hay 12 k3 = 4k3 – 18k2 +2k + 24 8k3 + 18k2 - 2k – 24 = 0 Giải phương trình ta có k = 1 Thay vào suy ra x = 3; y = 4; z = 1
1.Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất (x;y) thoả mãn x dương và y âm. - Chứng minh được hệ luôn có nghiệm duy nhất
với mọi m
2 1 2
2 4
2
2
m
m y
m
m x
-Từ x> 0 suy ra m>-4
-Từ y< 0 suy ra m< 2
1
Từ trên suy ra giá trị m phải tìm là -4< m < 2
1
2. Tìm các số nguyên m để hệ có nghiệm duy nhất (x;y) mà x,y là các số nguyên. -Theo trên hệ luôn có nghiệm duy nhất:
với mọi m
2 1 2
2 4
2
2
m
m y
m
m x
Ta có x nguyên m+4 chia hết cho m2+2 m2+2 4 m y là số nguyên 2m -1 chia hết cho m2+2 m2+2 1 2 m
Như vậy điều kiện của m là
4 2
1 2 2
2
2
m m
m m
mnguyên
Xét m2+2 giải bất phương trình suy ra m = -1 1 2 m
0.75đ
0.5đ 0.25đ
2 điểm
0.5đ
0.25đ 1đ 0.25đ
4 điểm …
Trên đây là phần đầu tài liệu — bấm Đọc sách để xem đầy đủ.
