Đề thi tuyển vào THPT chuyên tỉnh Yên Bái năm học 2005 2006 môn Toán

Biên soạn và thực hiện: Đỗ Trung Thành – giáo viên Trường THCS Nguyễn Thái Học – Lục Yên – Yên Bái *****************************************************************************

ĐỀ THI TUYỂN VÀO THPT CHUYÊN TỈNH YÊN BÁI Năm học 2005 – 2006 Buổi thi thứ hai (Dành cho thí sinh chuyên Toán) ************************ Bài 1 (3 điểm): Cho biểu thức: A = x + 4 x - 4 + x - 4 x - 4 a) Tìm điều kiện của x để biểu thức A tồn tại.

b) Chứng minh rằng: 2 x 4 (x 8) A

4 (4 x 8)

− ≥  =  ≤ < 

c) Tìm các giá trị của x để A = 4 Bài 2 (2 điểm): Với giá trị nào của a thì một trong hai nghiệm của phương trình x2 – 8x + 4a = 0 sẽ gấp đôi một nghiệm nào đó của phương trình x2 + x – 4a = 0. Bài 3 (2 điểm): Cho 5 số: n – 2, n – 1, n, n + 1, n + 2 (n ∈ Z). Chứng minh rằng: Tổng các bình phương của 5 số đó không thể là bình phương của một số nguyên. Bài 4 (3 điểm): Hai đường thẳng xx’ và yy’ vuông góc với nhau tại A. Đường tròn có tâm O di động trên xx’ và có bán kính bằng R không đổi. Một đường tròn thứ hai có tâm tại điểm C, bán kính CA. Tâm C di động trên yy’, đường tròn này tiếp xúc ngoài với đường tròn tâm O ở T. a) Chứng minh rằng tiếp tuyến chung trong hai đường tròn kẻ từ T đi qua một điểm cố định trên yy’. Cho OA = d, tính bán kính AC của đường tròn thứ hai theo d và R. b) Tìm giá trị của d để hai đường tròn bằng nhau, trong trường hợp đó hãy tính góc OCA. c) Một đường tròn thứ ba đôi một tiếp xúc ngoài với hai đường tròn nói trên. Tính diện tích phần xen giữa ba đường tròn trong trường hợp chúng có cùng bán kính R. ****************************************************** HƯỚNG DẪN GIẢI Bài 1 (3 điểm): Cho biểu thức: A = x + 4 x - 4 + x - 4 x - 4 a) Tìm điều kiện của x để biểu thức A tồn tại.

b) Chứng minh rằng: 2 x 4 (x 8) A

4 (4 x 8) − ≥  =  ≤ < 

c) Tìm các giá trị của x để A = 4 HD: a) Điều kiện để A tồn tại:

2

2

x 4 0 x 4

x 4 x 4 0 ( x 4 4) 0 x x 4

x 4 x 4 0 ( x 4 4) 0 x

− ≥ ≥     + − ≥ ⇔ − + ≥ ∀ ⇔ ≥     − − ≥ − − ≥ ∀  

b) Với x ≥ 4 ⇒ A x 4 2 | x 4 2 | = − + + − −

– Nếu x 4 2 0 x 8 : A x 4 2 x 4 2 2 x 4 − − ≥ ⇔ ≥ = − + + − − = − – Nếu x 4 2 0 0 x 4 4 0 x 8 : A x 4 2 2 x 4 4 − − < ⇔ ≤ − < ⇔ ≤ < = − + + − − = c) Từ kết quả của b) ta có: * A = 4 với 4 ≤ x < 8 (1) * Với x ≥ 8: A = 4 ⇔ 2 x 4 4 x 8 − = ⇔ = (2)

ThuVienDeThi.com

Biên soạn và thực hiện: Đỗ Trung Thành – giáo viên Trường THCS Nguyễn Thái Học – Lục Yên – Yên Bái *****************************************************************************

Từ (1) và (2) ta có: A = 4 với các giá trị 4 ≤ x ≤ 8 Bài 2 (2 điểm): Với giá trị nào của a thì một trong hai nghiệm của phương trình x2 – 8x + 4a = 0 sẽ gấp đôi một nghiệm nào đó của phương trình x2 + x – 4a = 0. HD: Giả sử α là một nghiệm của phương trình x2 – x – 4a = 0 (1) thỏa mãn điều kiện 2α là

nghiệm của phương trình x2 – 8x + 4a = 0 (2). Khi đó:

2

2 α α 4a 0 (1') (2') 4α 16α 4a 0

 + − =  − + = 

Giải ra ta được a = α thay vào phương trình (1’) ta được a = 0 hoặc a = 3. – Nếu a = 0: (1) có hai nghiệm x1 =0, x2 = –1 và (2) có hai nghiệm x1 = 0, x2 = 8 (thỏa mãn) – Với a = 3: (1) có hai nghiệm x1 =3, x2 = –4 và (2) có hai nghiệm x1 = 6, x2 = 2 (thỏa mãn) Vậy: Với a = 0 hoặc a = 3 thì điều kiện của bài toán được thỏa mãn Bài 3 (2 điểm): Cho 5 số: n – 2, n – 1, n, n + 1, n + 2 (n ∈ Z). Chứng minh rằng: Tổng các bình phương của 5 số đó không thể là bình phương của một số nguyên. HD: Theo bài ra ta có: A = (n – 2)2 + (n – 1)2 + n2 + (n + 1)2 + (n + 2)2 = 5(n2 + 2)  5 Vì A là bình phương của một số nguyên: 5(n2 + 2) = (5m.k)2 = 52m.k2 (m ∈ N, m ≥ 1, k ∈ Z). Suy ra: A  25 ⇔ n2 + 2  5. Xét từng trường hợp n = 5k, 5k + 1, 5k + 2, 5k + 3, 5k + 4 ta thấy trong mọi trường hợp n2 + 2 đều không chia hết cho 5 ⇒ đpcm. Bài 4 (3 điểm): Hai đường thẳng xx’ và yy’ vuông góc với nhau tại A. Đường tròn có tâm O di động trên xx’ và có bán kính bằng R không đổi. Một đường tròn thứ hai có tâm tại điểm C, bán kính CA. Tâm C di động trên yy’, đường tròn này tiếp xúc ngoài với đường tròn tâm O ở T. a) Chứng minh rằng tiếp tuyến …